PID控制的小车倒立摆控制系统数值计算
彭娟
（绵阳职业技术学院 计算机科学系，四川 绵阳 621000）
摘 要：为设计出良好的小车倒立摆控制系统动态性能指标。以某伺服电机控制车辆为例，结合系统的运动规律，分别计算出其微分方程、传递函数以及状态空间方程。以PID为控制方式，建立了系统的数学模型和极点配置子系统模型。最终，得到了PID控制和极点配置下的系统动态性能曲线图。结果显示，在取较小的比例积分数值时，选择合适的极点配置矩阵，可以获得良好的控制效果。
关键词：PID；倒立摆；动态性能；极点配置；数值计算
Numerical calculation of inverted pendulum control
system with PID control
Peng Juan
（MianYang Polytechnic, Computer Science Departments, SiChuan MianYang 621000） Abstract: in order to design a good control system of inverted pendulum control system, the dynamic performance index. Taking a servo motor as an example, the differential equation, transfer function and state space equation of the system are calculated according to the motion law of the system. The mathematical model of the system and the pole assignment subsystem model are established by using PID as the control method. Finally, the dynamic performance of the system under the control of PID and pole assignment is obtained. The results show that a good control effect can be obtained by selecting the proper pole assignment matrix when a small proportion of the integral value is obtained.
Key words: PID; inverted pendulum; dynamic performance; pole assignment; numerical calculation
1. 引言
倒立摆系统[1]，是一种结构简单、参数调试方便的实验模型设备。在工程控制领域中，如机器人的平衡控制、电机驱动系统控制、人造卫星飞行轨迹控制、火箭发射控制等，其运动轨迹均可以近似等效为对应的倒立摆模型。由此可见，倒立摆系统在工程技术研发的各个领域，应用都非常广泛。通常情况下，在控制系统的性能测试中，稳定性[2]是判断一个系统能否正常运行的关键。从系统启动到稳定运行，通常会经过一定的动态阶段[3]，若该阶段的
时间、超调量、振动频率等各项指标良好，则系统设备的运行状态、寿命以及控制精度等性能也往往能保持在较优的工况。反之，若动态性能不合理，则系统就无法达到预期的控制效果。因此，若在实验中，通过参数的调试，能够使得倒立摆系统实现良好的稳态控制，则实验参数可以作为原型机的设置参数，预判其原型设备的控制效果，达到优化设计的目的。综上所述，研究倒立摆系统的控制稳定性，具有良好的工程价值。
2. 实验工程概况
以某伺服电动机控制的车辆倒立摆系统为研究对象，倒立摆的类型为一级旋转倒立摆，部分机械参数，如表1所示。为建立精确的数学仿真模型，在研究中忽略空气阻力、电机转动摩擦力等非关键要素。采用牛顿-欧拉法[4]建立模型实验数学模型。系统简要结构，如图1所示。
表1. 倒立摆系统机械参数
摆杆转动轴心
车本体质量M（Kg）
摆杆质量m
车辆摩擦系数b
（Kg）
摆杆惯量I（Kg*m）
度l（m）
2
采样时间间隔
到杆质心的长
T（s）
1.905 0.11 0.1 0.0035 0.26 0.005
m,l F M
图1. 一级倒立摆简化模型
3. 数学模型的建立
倒立摆系统的数学模型，本质上来说，是数值计算中的函数传递流程。它是动态性能仿真的前处理环节。数学模型的准确与否，直接关系到仿真精度。因此，该步骤中的具体操作为：
（1）为提升数值计算的效率，避免因耦合条件过多而出现无解的情况。将图1所示的简化系统假设为匀质刚体，其中，摆杆绕转轴旋转；
（2）按照牛顿运动学原理[5]，计算系统的运动微分方程、传递函数以及状态空间方程；系统的微分方程表达式为：
&&(I?ml2)?2?mgl??mlx {
&&&&&(M?m)x?bx?ml??u （1）
式中，?为摆杆与垂直方向夹角；u为被控对象输入力。 系统的传递函数为：
?(s)U(s)?2.35655s（2）
s3?0.0883167s2?27.9169s?2.30942
系统的状态空间方程为：
&??x???0?&&???x??0?&???0?????&&??0?????100000029.4?x?0????0?&?x??1?0???????u1?????0????0??&??3??????（3）
（3）为优化系统的控制性能，采用极点配置法[6]，计算状态增益矩阵；
（4）由于系统的传递函数较多，若发生某一个模块的特征方程缺项，则无论怎么调整参数，系统均无法达到稳定。为修正该问题，拟采用PID的控制方式[7]。建立的系统数学模型和极点配置封装模型，如图2~4所示。
图2. PID控制下的倒立摆数学模型
图3. 未配置极点的子系统封装模型
图4. 配置极点的子系统封装模型
4. 计算结果后处理
系统数学模型建立之后，根据文献[8]的结论，选择ode23tb为数值计算方法，计算时间确定为10s，采样时间和计算步长等，采取默认设置。
4.1 PID控制效果分析
对于PID控制策略的仿真中，按照经验分别试取两组增益矩阵值：Kp?9，Ki?0，
KD?0和Kp?40，Ki?0，KD?0，仿真结果如图5所示。
6000.320.30.280.260.240.220.205004003002001000012345678910
12345678910
a. 仿真结果（第一组） b. 仿真结果（第二组）
图5. PID控制结果
由图5可知，当比例积分Kp取小值时，数值计算结果是发散的，即系统根本无法达到稳定运行的状态，故需要进行参数调整。当将Kp提高至40时，系统的动态特性是呈正弦波状态，故还是没有达到收敛状态。然而，从曲线变化趋势可知，倘若进一步提高比例积分的数值，系统肯定会收敛并达到稳定。因此也可以证明，PID控制可以有效修正系统的缺项等不足，通过调整控制参数，能够改善动态性能，实现稳定。但就本案例而言，继续调整参数，比例积分值将过大，且即使达到稳定，动态阶段的振动频率和超调也将显著增加，对于系统性能而言，将严重影响寿命。因此，比例积分取小值的时候，拟采取极点配置法，优化系统的动态性能。
4.2 极点配置仿真结果分析
极点配置，是在图4所示的封装子系统中，设置极点矩阵，然后将子系统设置于控制系统主结构中。该环节下，主要是利用matlab计算极点矩阵，以某一组极点为例，部分程序如下：
A=[0,1,0,0;0,0,0,0;0,0,0,1;0,0,29.4,0]; B=[0;1;0;3] C=[1,0,0,0;0,0,1,0]; D=[0;0]; x0=[10;0;1.3;0];
p=[-10 -10 -2+3.464j -2-3.464j]; K=acker(A,B,p);
PID控制的小车倒立摆控制系统数值计算
