借“数形结合思想”解题
数形结合的经典分类
1. 利用函数图象，寻找特殊图形的构成。
（1）利用函数图象，寻找等腰三角形的第三点坐标。如：在平面直角坐标系中，A（2，2），点P在x轴上，若△APO是等腰在三角形，求Ｐ坐标？
yA(2,2)xO
答案：P1（22，0），P2（?22，0），P3（4，0），P4（2，0）。
（2）利用函数图象，构造平行四边行（或特殊平行四边形）。如：函数y=２x+２与x轴y轴交于Ａ、Ｂ两点，在坐标平面内找一点Ｃ，使Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏ构成平行四边形，求Ｃ坐标。
答案：C1（-1,2），C2（-1,-2），C3（1,2）。
2. 利用全等三角形及函数图象解决问题。
如图所示，直线L：y=x+１与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。
答案：7。
3. 利用动点及多函数交点坐标解决与面积有关的问题。
如图，一次函数y=ax－b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于B（0，－4），△OAB的面积为6，在y轴上是否存在一点E，使S△ABE=5，若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：E1（0，?222），E2（0，?）。 33
总结：
①综合性问题涉及的内容较多，解题根本是熟练掌握各知识点； ②以上所举例子只是综合性习题中的一小部分，往往要多个问题综合到一起，难度较大。
例题 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）。若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则下列各点在直线l上的是（ ）
A. （4，3） B. （5，2） C. （6，2） D. （0，
10） 3
解析：先延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，由所给点的坐标得出四边形OABC，四边形CDEF都为矩形，并且点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，点N是矩形CDEF的中心，得出直线l必过M和N点，再设直线l的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式，然后把所给的点分别代入，即可求出答案。
答案：如图，延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，∵O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0），∴四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，∴点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，∴点M为矩形ABFO的中心，∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分，同理可证：点N是矩形CDEF的中心，∴点N（5，2），∴过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分，∴直线MN
就是所求的直线l，设直线l的解析式为y=kx+b，把（M2，3）（N5，2）代入上式得：??2k?b?3，
?5k?b?21?k???1117?3解得：?，∴所求直线l的函数表达式是：y=－x+，当x=4时，y=，则A
333?b?11?3?511不正确；当x=5时，y=2，则B正确；当x=6时，y=，则C不正确；当x=0时，y=，则
33D不正确；故选B。
点拨：本题考查了一次函数的综合，用到的知识点是矩形的性质即过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积和待定系数法求解析式，解题的关键是根据图形作出辅助线，求证四边形OABC和四边形CDEF都是矩形。
利用特殊图形求解析式
例题 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（－4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（ ）
A. y=－2x+1 B. y=－
1x+2 C. y=－3x－2 D. y=－x+2 2
解析：抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式。
答案：解：当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示，∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（－4，0），∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=
1OA=2， 21OF=DG=BG=CG=BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（－1，3）；当C与原点O重合时，D
2在y轴上，此时OD=BE=2，即D（0，2），设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标
代入得：?
??k?b?3?k??1，解得：?。则这条直线解析式为y=－x+2。故选D。
?b?2?b?2点坐标问题
例题 (江东区)如图，矩形OABC的顶点B的坐标为B（8，7），动点P从原点O出发，
以每秒2个单位的速度沿折线OA－AB运动，到点B时停止，同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度在线段CO上运动，当一个点停止时，另一个点也随之而停止。在运动过程中，当线段PQ恰好经过点M（3，2）时，运动时间t的值是__________。
解析：设直线PQ的方程为y=kx+b（k≠0）。分类讨论：当点P在线段OA上和点P在线段AB上运动时两种情况。把点P、Q、M的坐标分别代入函数解析式，通过方程组来求t的值。
答案：解：设直线PQ的方程为y=kx+b（k≠0）。∵矩形OABC的顶点B的坐标为B（8，7），∴OA=7，OC=8．①当点P在线段OA上，即0≤t＜3.5时，如图，P（0，2t）、Q（8
?b?2t?－t，0）。∵直线PQ经过点M（3，2），∴?(8?t)k?b?0。解得t=2；
?3k?b?2?②当点P在线段AB上，即3.5≤t＜7时，如图，P′（2t-7，7）、Q（8－t，0）。∵
?(2t?7)k?b?7?直线PQ经过点M（3，2），∴?(8?t)k?b?0。解得，t=5；综上所述，t的值是2或5。
?3k?b?2?故答案是：2或5。
（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=
22x－与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、33
F，已知OA=3，OC=4，则△CEF的面积是（ ）
A. 6 B. 3 C. 12 D.
4 3
2. 如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 82
*3. 在平面直角坐标系中，已知直线y=－
3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C4
（0，n）是y轴正半轴上一点。把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
34） B. （0，） C. （0，3） D. （0，4） 433**4. 如图，一次函数y=－x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边
4A. （0，
在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°。则过B、C两点直线的解析式为（ ）
A. y=
1111x+3 B. y= x+3 C. y=x+3 D. y=x+3 7543
**5. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置。点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（ ）
nn－1n－1n－1
A. （2－1，2） B. （2+1，2） C. （2n－1，2n－1） D. （2n－1，n）
【2024版】八年级数学下册专题讲练：借“数形结合思想”解题试题(含答案)
