第3讲 圆的方程
1．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
2222
A．x＋y＝2 B．x＋y＝2
2222
C．x＋y＝1 D．x＋y＝4 解析：选A.AB的中点坐标为(0，0)，
22
|AB|＝[1－（－1）]＋（－1－1）＝22，
22
所以圆的方程为x＋y＝2.
22
2．(2016·合肥质检)过坐标原点O作单位圆x＋y＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若
→→→
在该圆上存在一点C，使得OC＝aOA＋bOB(a，b∈R)，则以下说法正确的是( ) A．点P(a，b)一定在单位圆内 B．点P(a，b)一定在单位圆上 C．点P(a，b)一定在单位圆外
D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
→2→→2→→→→2222
解析：选B.因为OC＝(aOA＋bOB)，且OA⊥OB，所以a＋b＋2abOA ·OB＝a＋b＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.
3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
22
A．(x－2)＋(y－1)＝1
22
B．(x－2)＋(y＋1)＝1
22
C．(x＋2)＋(y－1)＝1
22
D．(x－3)＋(y－1)＝1
解析：选A.由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a，1)，a＞0，又圆与直线4x|4a－3|22
－3y＝0相切，可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)＋(y－1)＝1.
5
22
4．(2016·辽宁省五校联考)直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在圆x＋y＝9的外部，则k的取值范围为( )
3333
A．k＜－或k＞ B．－＜k＜
55553333C．－＜k＜ D．k＜－或k＞
4444
??x－2y－2k＝0，2
解析：选A.解方程组?得交点坐标为(－4k，－3k)．由题意知(－4k)＋(－
?2x－3y－k＝0?332
3k)＞9，解得k＞或k＜－，故选A.
55
5．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C的方程为( )
413?23?2??22
A.?x±?＋y＝ B.?x±?＋y＝
333?3???3?243?21??22
C．x＋?y±?＝ D．x＋?y±?＝
333?3???
2
解析：选C.由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半
3ππ24332
径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r＝，|a|＝，即a＝±，故333333
3?24?
圆C的方程为x＋?y±?＝. 33??
2
6．(2016·洛阳统考)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x＋y＋4x＋2y22
＋1＝0的周长，则a＋b－2a－2b＋3的最小值为( ) 49A. B. 55
9
C．2 D.
4
22
解析：选B.因为直线ax＋by＋1＝0始终平分圆x＋y＋4x＋2y＋1＝0的周长，所以圆心(－
2222
2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，从而2a＋b－1＝0.a＋b－2a－2b＋3＝(a－1)＋(b－1)
22
＋1，而(a－1)＋(b－1)表示点(1，1)与直线2a＋b－1＝0上任一点距离的平方，其最小
49?|2×1＋1×1－1|?24222
值dmin＝?＝，所以a＋b－2a－2b＋3的最小值为＋1＝，故选B. ?22
552＋1??5
7．(2014·高考陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
22
解析：圆C的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x＋(y－1)＝1.
22
答案：x＋(y－1)＝1
22
8．(2016·太原模拟)已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x＋y－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________． 解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距
|3×1＋4×1＋8|
离，而圆心C的坐标是(1，1)，因此最小距离为＝3.
5
答案：3
22
9．已知圆x＋y＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
22
解析：因为圆的方程可化为(x＋1)＋(y－2)＝5－a， 所以其圆心为(－1，2)，且5－a>0， 即a<5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
所以2＝－2＋b，所以b＝4.所以a－b＝a－4<1. 答案：(－∞，1)
10．已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为22，则圆的方程为________．
解析：由题意设圆心为(m，0)(m＞0)，则圆的半径r＝|1－m|，圆心到直线l：y＝x－1的
|m－1|?|m－1|?22
距离d＝，又直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为22，所以2|1－m|－??
?2?2＝22，整理得|1－m|＝2，解得m＝3(m＝－1不符合题意，舍去)，则r＝2，故圆的方程为
22
(x－3)＋y＝4.
22
答案：(x－3)＋y＝4
11．求适合下列条件的圆的方程．
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．
222
解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，
b＝－4a，
22
??（3－a）＋（－2－b）＝r，则有?
|a＋b－1|??2＝r，
2
2
2
解得a＝1，b＝－4，r＝22.
所以圆的方程为(x－1)＋(y＋4)＝8. 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
22
所以半径r＝（1－3）＋（－4＋2）＝22，
22
所以所求圆的方程为(x－1)＋ (y＋4)＝8.
2222
(2)设圆的一般方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F＞0)， ?1＋144＋D＋12E＋F＝0，
22
?
则?49＋100＋7D＋10E＋F＝0， ??81＋4－9D＋2E＋F＝0.
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
22
所以所求圆的方程为x＋y－2x－4y－95＝0.
12．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)． 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上， 得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210，
22
所以(a＋1)＋b＝40.②
??a＝－3??a＝5，
由①②解得?或?
???b＝6?b＝－2.
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
22
所以圆P的方程为(x＋3)＋(y－6)＝40
22
或(x－5)＋(y＋2)＝40.
2
1．已知两点A(0，－3)、B(4，0)，若点P是圆C：x＋y－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )
11
A．6 B.
221
C．8 D.
2
解析：选B.如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线ABxy|3×0－4×1－12|
的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝22
4－33＋（－4）
2
16， 5
1?16?11
所以△ABP的面积的最小值为×5×?－1?＝.
2?5?2
4x＋3y－12≥0，??22
2．设命题p：?k－x≥0，(x，y，k∈R且k＞0)；命题q：(x－3)＋y≤25(x，y∈
??x＋3y≤12R)．若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是________．
解析：
如图所示：命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件，实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可．
4??由题知B?k，4－k?， 3??
?k＞0，
?则? 1622
（k－3）＋（3－k）≤25，?9?
解得0＜k≤6. 答案：(0，6]
3．在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.
→
(1)求AB的坐标；
22
(2)求圆x－6x＋y＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
→
解：(1)设AB＝(x，y)，
→→
由|AB|＝2|OA|，AB·OA＝0，
22??x＋y＝100，得? ?4x－3y＝0，???x＝6，??x＝－6，→?解得或?若AB＝(－6，－8)， ?y＝8?y＝－8.??
则yB＝－11与yB>0矛盾．
??x＝－6，→所以?舍去，即AB＝(6，8)．
?y＝－8?22
(2)圆x－6x＋y＋2y＝0，
222
即(x－3)＋(y＋1)＝(10)， 其圆心C(3，－1)，半径r＝10，
→→→
因为OB＝OA＋AB＝(4，－3)＋(6，8)＝(10，5)，
1
所以直线OB的方程为y＝x.
2
1
设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)，
2
b＋1
＝－2，a－3??a＝1，则解得?
?b＝3，b－11a＋3?
＝·，222
22
所以所求圆的方程为(x－1)＋(y－3)＝10.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y＝x相切于
?????
坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，
22
则圆C的方程为(x－a)＋(y－b)＝8. 因为直线y＝x与圆C相切于原点O， 所以O点在圆C上， 且OC垂直于直线y＝x，
a2＋b2＝8，????a＝2，??a＝－2，
?于是有?b?或? ??b＝－2b＝2.＝－1???
?a由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0， 22
所以圆C的方程为(x＋2)＋(y－2)＝8. (2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，
22
??（x－4）＋y＝16，则有? 22
?（x＋2）＋（y－2）＝8，?
4
解之得x＝或x＝0(舍去)．
5
?412?所以存在点Q?，?，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长． ?55?
2024届高考数学一轮第8章平面解析几何第3讲圆的方程
