方程及方程组的求解
1路灯照明问题。在一条 20m宽的道路两侧，分别安装了一只
2kw和一只3kw的路灯,
它们离地面的高度分别为 5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时 （1） 两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？
（2） 如果3kw的路灯的高度可以在 3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？ （3） 如果两只路灯的高度均可以在 3m到9m之间变化，结果又如何？
解：
根据题意，建立如图模型 P1=2kw P2=3kw S=20m
照度计算公式：
i k^2- r
（k为照度系数，可取为 1 ； P为路灯的功率）
S
（1 ）设Q（x,O）点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在
Q点的照度分别为
I1
k P1sin 1
R
2
I2
k PzSin 2
R1
2
h.
2
2
x
sin
1
?2 ,
、2
h2 (s x)
sin
R1
h2 R2
2
Q点的照度:
I(x)
Ph
(s x))
2
3
10 18
-) . (36 (20 x)) . (25 x)
23
2
23
要求最暗点和最亮点，即为求函数 l(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点
2
I’
3RAX X J(h2 X2)5 3P2h(s x) 30x 7(h^ (s x)2)5 J(25 x2)5
0时x的值
54(20 x) J(36 (20 x)2)5
利用MATLAB求得l'(x) 代码：
s=solve('(-30*x)/((25+xA2)A(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)A2)A(5/2))'); s1=vpa(s,8); s1
运行结果： s1 =
19.97669581 9.338299136
8.538304309-11.61579012*i
.2848997038e-1
8.538304309+11.61579012*
因为x>=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的l(x)的值，如下表：
x l(x) 0 0.08197716 0.028489970 0.08198104 9.3382991 0.01824393 19.976695 0.08447655 20 0.08447468 综上，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时，为最亮点。
(2)路灯2的高度可以变化时， Q点的照度为关于x和h2的二元函数:
l(x，h2)
Rh1 (h2 x2)3
Rd
.(h； (s x)2)3
2
10 3h2
(25 x2)3 ..(h (20 x)2)3
与(1)同理，求出函数
I(x,h2)的极值即为最暗点和最亮点
I h
3F^h2 ,(hf (s x))
23
0 2
(hf (s x)2)5
利用matlab求得x：
solve('3/((hA2+(20-x)A2)A(3/2))-3*(3*hA2)/((hA2+(20-x)A2)A(5/2))=0') ans =
20+2A(1/2)*h 20-2A(1/2)*h
即 x1=20+2A(1/2)*h
(舍去)
x2=20-2A(1/2)*h
丄
x
3F(h1x 3F2h2(s x) -30(20 2h)
J(25 x2)5
9h2(20 x) J(忙(20 x)2)5
0
x2)5 J(忙(s x)2)5
利用matlab求解h2
solve('-30*(20-2A(1/2)*h)/((25+(20-2A(1/2)*hF2)A(5/2))+9*h*(20-(20-2A(1/2)*h))/((hA2+(20-( 20-2人(1/2)牛))人2)人(5/2))=0') ans =
7.4223928896768612557104509932965 14.120774098526835657369742179215 因为h在3~9之间，所以h2=7.42239m 再利用matlab求解x和亮度I 算法：h=7.42239;
x=20-2A(1/2)*h
I=10/((25+xA2)A(3/2))+(3*h)/((hA2+(20-x)A2)A(3/2))
结果： x =
9.5032 I =
0.0186
综上，x=9.5032 , h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为
⑶两盏路灯的高度均可以变化时， 解x, hi, h2的值：
0.0186w。
I为关于X,h1,h2的三元函数，用同样的方法求解 利用matlab求
I(x,h,,h2)
Rd 讥h
R
2 2
Bh2
(hf (s x)2)3
3R|h1
2
x2)3
h1 ..(hi x2)3 P2
3F^h2 (h； (s x))
25
2
h2 (h| (s x))
23
(20 x))
23
9h22 (hf (20 x)2)5
°
3R1h1x .(h2 x2)5
3F2h2(s x) .(h； (s
x))
2 \\5
6h|X .(h； x )
2\\5
9h2(20 x) 0 (h； (20 x))
2\\5
h2
1
2(20 x) 3h2(20 x)
5
2h1x
5
[h； (20 x)2]2 (hf
! 2
)'
誉(20 x)2
I
2
~2 (1 2 2)2 (x x ) 2
1 (20 x)
3
[匸(20 x)2 (20 x)2]2
2
2 3x3
数学建模课后习题答案
