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专题5.1概率与统计（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 随机抽样
1.简单随机抽样的特点
(1)抽取的个体数较少；(2)是逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样． 2.抽签法与随机数法的适用情况
(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况． (2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． 3.系统抽样中所抽取编号的特点
（1）系统抽样又称等距抽样,所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列,首项就是第1组所抽取样本的号码,公差为间隔数,根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码． （2）抽样间隔不是整数的处理策略
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系统抽样时,如果总体中的个数不能被样本容量整除时,可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,然后再按系统抽样进行. 3.分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算． 样本容量各层样本数量
(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解,其中“抽样比＝＝”．
总体容量各层个体数量
提醒：分层抽样时,每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取ni＝n·(i＝1,2,…,k)个个体(其中i是层数,n是抽取的样本容量,Ni是第i层中个体的个数,N是总体容量)．
【典例1】(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .
【典例2】在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：
NiN
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( ) A．3 C．5
B．4 D．6
【典例3】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( ) ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． A．0 B．1 C．2 D．3 【总结提升】
(1)不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的． (2)系统抽样一般也称为等距抽样,入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍． (3)分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
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(4) 三种抽样方法的特点、联系及适用范围 类别 简单随机抽样 系统 抽样 分层 抽样 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等； ②每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样 共同点 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几部分,按预先定出的规则在各部分中抽取 将总体分成几层,分层进行抽取 联系 适用范围 总体个数较少 在起始部分取样时,采用简单随机抽样 各层抽样时,采用简单随机抽样或系统抽样 总体个数较多 总体由差异明显的几部分组成 热门考点02 茎叶图及其应用
茎叶图的使用策略 (1)茎叶图的绘制需注意：
①“叶”的位置只有一个数字,而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一； ②重复出现的数据要重复记录,不能遗漏,特别是“叶”的位置上的数据．
(2)茎叶图通常用来记录两位数的数据,可以用来分析单组数据,也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数,数据大致集中在哪个茎,数据是否关于该茎对称,数据分布是否均匀等．
【典例4】(2017·山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
A．3,5 C．3,7
B．5,5 D．5,7
【典例5】(2019·济南模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号,根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生,则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为( )
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A．2 C．5 【特别提醒】
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数． ①“叶”位置只有一个数字,而“茎”位置的数字位数一般不需要统一； ②茎叶图上重复出现的数据要重复记录,不能遗漏.
B．4 D．6
热门考点03 频率分布直方图
1.频率、频数、样本容量的计算方法 频率(1)×组距＝频率． 组距
频数频数(2)＝频率,＝样本容量, 样本容量频率样本容量×频率＝频数．
(3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法
第一步：求极差,决定组数和组距,组距＝极差/组数；
第二步：分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间； 第三步：登记频数,计算频率,列出频率分布表． 3．频率分布直方图中数字特征的计算
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
(4)在很多题目中,频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,是解题的关键,常利用频率分布直方图估计总体分布．
【典例6】（2017北京,文17）某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组：[20,30）,[30,40）,┄,[80,90],并整理
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得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计
总体中男生和女生人数的比例．
【典例7】（2016高考四川文科）我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）,将数据按照[0,0.5）, [0.5,1）,……[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
0.500.42
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数. 【总结提升】 1.两个主要考查角度：
（1）利用频率分布直方图求频率、频数．
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2020年新高考数学核心知识点5.1 概率与统计(精讲精析篇)(学生版)
