《信号与系统》考研奥本海姆考研笔记(下)与考研真
题
第7章 采 样
7.1 复习笔记
本章重点介绍了采样和采样定理，采样定理在连续时间信号和离散时间信号之间起着桥梁作用，采样在利用离散时间系统技术来实现连续时间系统并处理连续时间信号方面有着至关重要的作用。学完本章读者应该掌握以下内容： （1）重点掌握采样的过程和采样定理，牢记奈奎斯特采样频率。 （2）掌握内插的定义及如何利用内插由样本重建信号。 （3）重点掌握连续时间信号的离散时间化处理过程。 （4）了解数字微分器及其频率特性。
（5）掌握离散时间信号采样的原理及恢复原离散时间信号的方法。 一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理 1冲激串采样
（1）冲激串采样的定义
冲激串采样是指用一个周期冲激串p（t）去乘待采样的连续时间信号x（t）。该周期冲激串p（t）称为采样函数，周期T称为采样周期，而p（t）的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。
（2）冲激串采样过程（见图7-1-1） 在时域中有
xp（t）＝x（t）p（t）
在频域中有
即Xp（jω）是频率ω的周期函数，它由一组移位的X（jω）的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。
图7-1-1 冲激串采样过程
（3）采样定理
频带宽度有限信号x（t），在|ω|＞ωM时，X（jω）＝0。如果ωs＞2ωM，其中ωs＝2π/T，那么x（t）唯一地由其样本x（nT），n＝0，±1，±2，…，所确定。其中频率2ωM称为奈奎斯特率。 已知这些样本值，重建x（t）的办法：
①产生一个冲激幅度就是这些依次而来的样本值的周期冲激串。
②将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs－ωM的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x（t）。
2零阶保持采样 （1）零阶保持的含义
在一个给定的瞬时对x（t）采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止，利用零阶保持采样的原理图如图7-1-2所示。
图7-1-2 利用零阶保持采样
（2）零阶保持采样的过程
零阶保持的输出x0（t）在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到，如图7-1-3所示。
①用一个单位冲激响应为hr（t），频率响应为Hr（jω）的线性时不变系统来处理x0（t）。
②给出一个Hr（jω），以使r（t）＝x（t）。
这就要求
若Hr（jω）的截止频率等于ωs/2，则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7-1-4所示。零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。
图7-1-3 零阶保持输出x0（t）的原理图
图7-1-4 为零阶保持采样重建信号的重建滤波器的模和相位特性
需要注意以下两点：①零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，而不用附加任何低通滤波；②Hr（jω）不可能真正实现，必须进行充分近似设计。 二、利用内插由样本重建信号
内插是一个由样本值来重建某一函数的常用过程，也就是用一连续信号对某一组样本值的拟合。
1零阶保持
零阶保持可以看成在样本之间进行内插的一种形式，图7-1-5是零阶保持和理想内插滤波器的传输函数。
图7-1-5 零阶保持和理想内插滤波器的传输函数
2线性内插（一阶保持）
（1）线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来，如图7-1-6所示。
图7-1-6 线性内插（虚线表示原始信号，实线表示线性内插）
（2）利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插（即带限内插） ①输入xr（t）＝xp（t）*h（t）时
上式体现了在样本点x（nT）之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。
②对于理想低通滤波器H（jω），h（t）为
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