一、选择题
ππ
1.已知简谐运动f(x)=2sin(3x+φ)(|φ|<2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
π
A.T=6,φ=6 π
C.T=6π,φ=6
π
B.T=6,φ=3 π
D.T=6π,φ=3 2π2π1
【解析】 T=ω=π=6,代入(0,1)点得sin φ=2. 3
πππ∵-2<φ<2,∴φ=6. 【答案】 A
π
2.函数y=8sin(6x+3)取最大值时,自变量x的取值集合是( ) 5πkπ
A.{x|x=-6+3,k∈Z} πkπ
B.{x|x=36+3,k∈Z} kπ
C.{x|x=3,k∈Z} πkπ
D.{x|x=9+3,k∈Z}
πππ
【解析】 由题意知sin(6x+)=1,此时6x+=2kπ+(k∈Z),
332kππ
∴x=3+36(k∈Z). 【答案】 B
3.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标π
不变,再把图象向左平移4个单位,这时对应于这个图象的解析式为( )
A.y=cos 2x π
C.y=sin(2x-4)
B.y=-sin 2x π
D.y=sin(2x+4)
【答案】 A
4.(2013·绍兴高一检测)已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图1π
-3-4所示,如果A>0,ω>0,|φ|<2,则( )
图1-3-4
A.A=4 π
C.φ=
6
B.ω=1 D.B=4
45π2π2π
【解析】 由题图可知A=2=2,B=2,T=4(12π-6)=π,∴ω=T=π=2.
ππ
∴y=2sin(2x+φ)+2,代入点(6,4)得φ=6. 【答案】 C
π
5.为了得到函数y=sin(2x-6)的图象,可以将函数y=cos 2x的图象( ) π
A.向右平移6个单位长度 π
B.向右平移3个单位长度 π
C.向左平移6个单位长度 π
D.向左平移3个单位长度
π
【解析】 y=sin(2x-6) ππ2π
=cos[2-(2x-6)]=cos(3-2x) 2ππ
=cos(2x-3)=cos 2(x-3). 故选B. 【答案】 B 二、填空题
πππ
6.已知f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f(3+x)=f(3-x),则f(3)等于__________.
ππππ
【解析】 由f(3+x)=f(3-x)知x=3是f(x)的一条对称轴,故f(3)=±3. 【答案】 ±3
2π
7.把函数y=2sin(x+3)的图象向左平移m个单位,所得图象关于y轴对称,则m的最小正值是________.
2π
【解析】 把y=2sin(x+3)的图象向左平移m个单位,则y=2sin(x+m+2π
3),其图象关于y轴对称,
2πππ
∴m+3=kπ+2,即m=kπ-6,k∈Z. 5π
∴取k=1,m的最小正值为6. 5
【答案】 6π
π
8.关于函数f(x)=4sin(2x+3)(x∈R),有下列命题: π
①y=f(x)的表达式可改写成y=4cos(2x-6); ②y=f(x)是奇函数;
π
③y=f(x)的图象关于点(-6,0)对称;
π
④y=f(x)的图象关于直线x=-6对称. 其中正确命题的序号为________.
πππ
【解析】 4sin(2x+3)=4cos(6-2x)=4cos(2x-6),所以①正确,②④不正ππ
确,而③中f(-6)=0,故(-6,0)是对称中心,所以③正确.
【答案】 ①③ 三、解答题
1π
9.(1)利用“五点法”画出函数y=sin(2x+6)在长度为一个周期的闭区间的简图列表:
1π2x+6 x y 作图:
图1-3-5
(2)并说明该函数图象可由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样变换得到的. 【解】 先列表,后描点并画图.
1π2x+6 x y 0 π-3 0 π2 2π3 1 π 5π3 0 3π2 8π3 -1 2π 11π3 0
ππ
(2)把y=sin x的图象上所有的点向左平移6个单位长度,得到y=sin(x+6)1
的图象,再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(2xπ
+6)的图象.
1
或把y=sin x的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin 2xπ1π
的图象.再把所得图象上所有的点向左平移3个单位长度,得到y=sin 2(x+3),1π
即y=sin (2x+6)的图象.
π
10.已知函数f(x)=2sin(2x-6),x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间; π
(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.
πππk
【解】 (1)由2x-6=kπ+2,k∈Z,解得f(x)的对称轴方程是x=3+2π,kππkπ
∈Z;由2x-=kπ,k∈Z解得对称中心是(+π,0),k∈Z;由2kπ-≤2x
61222πππππ
-6≤2kπ+2,k∈Z解得单调递增区间是[-6+kπ,+kπ],k∈Z;由2kπ+
32≤2xπ3π5π
-6≤2kπ+2π,k∈Z,解得单调递减区间是[3+kπ,6+kπ],k∈Z.
πππ5
(2)∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤6π.
ππ
∴当2x-6=-6,即x=0时,f(x)取最小值为-1; πππ
当2x-6=2,即x=3时,f(x)取最大值为2.
π
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<2)的周期为π,2π
且图象上一个最低点为M(3,-2).
(1)求f(x)的解析式;
π
(2)当x∈[0,12]时,求f(x)的值域.