622有A7种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有A6A7?30240种。
(3) 4个空位至少有2个相邻的情况有三类：
4①4个空位各不相邻有C7种坐法;
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C7C6种坐法; ③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有C7种坐法.
64122综合上述,应有A6(C7?C7C6?C7)?118080种坐法。
12242．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有A4?24；
若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，
22自动进入，不需要排列，即有C3A4?36；
若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，
11自动进入，不需要排列，即有C3A4?12；
所以有24?36?12?72种。
3．解：(1?2x)(1?3x)??(2x?1)(3x?1)
514413 ??[(2x)?C5(2x)?...][(3x)?C4(3x)?...]
5454 ??(32x?80x?...)(81x?108x?...)
5443??(2592x9?81?80x8?32?108x8?...)98??2592x?3024x?...2n?2?8n?9?9n?1?8n?9?(8?1)n?1?8n?9 4．解：30n?11nn?12nn?1?Cn?Cn?18?18?L?Cn?18?Cn?18?Cn?1?8n?90n?11n?2n?1?64(Cn?Cn?L?Cn?18?18?1)?8(n?1)?1?8n?9
0n?11n?2n?1?M?64(记M?Cn?Cn?L?Cn?18?18?1)QM为整数，?64M能被64整除.
012n5．证明：Cn?2Cn?3Cn?...?(n?1)Cn
012n12n ?(Cn?Cn?Cn?...?Cn)?(Cn?2Cn?...?nCn)
12n?1?2n?n(1?Cn?1?Cn?1?...?Cn?1)?2?n?23nn?11
6．解：（1）Cn?7Cn,n(n?1)(n?2)?7n,n2?3n?40?0,由n?N*,得n?8；
6523443243（2）C7a?C7a?2C7a,21a?35a?70a,a?0
得5a?10a?3?0?a?1?44lgx44(1?lgx)（3）C8(2x)(x)?1120,x210； 5?1,lg2x?lgx?0
得lgx?0，或lgx??1 所以x?1,或x?1。 10
离散型随机变量解答题精选（选修2--3）
1.人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
⑴第3次拨号才接通电话； ⑵拨号不超过3次而接通电话.
解：设Ai?{第i次拨号接通电话}，i?1,2,3
⑴第3次才接通电话可表示为A1A2A3于是所求概率为P(A1A2A3)?9?8?1?1;
109810⑵拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1?A1A2?A1A2A3于是所求概率为
1919813 P(A1?A1A2?A1A2A3)?P(A??????.1)?P(A1A2)?P(A1A2A3)?101091098102.出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.
⑴求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
⑵求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。
解：⑴因为这位司机第一,二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯, 所以P?(1?1)(1?1)?1?4.
3332713⑵易知?~B(6,). ∴E??6?1?2. D??6?1?(1?1)?4.
333333.奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望
解：设此次摇奖的奖金数额为?元，当摇出的3个小球均标有数字2时，??6； 当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，??9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，??12。
31221所以，P(??6)?C8?7,P(??9)?C8C2?7,P(??12)?C8C2?1,E??6?(7?9?7?12?1?39)
33315151551515C10C1015C101答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是
39元 54.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
⑴三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ ⑵恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C，则P(A)?0.9,P(B)?0.8,P(C)?0.85 ⑴P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?[1?P(A)][1?P(B)][1?P(C)]?(1?0.9)(1?0.8)(1?0.85)?0.003 答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003
⑵P(A?B?C?A?B?C?A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)?P(A?B?C)
?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?[1?P(A)]P(B)P(C)?P(A)[1?P(B)]P(C)?P(A)P(B)[1?P(C)]
?(1?0.9)?0.8?0.85?0.9?(1?0.8)?0.85?0.9?0.8?(1?0.85)?0.329 答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329
5．如图，A,B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网
线且使每条网线通过最大的信息量.
⑴设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x,当x?6时, 则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；
⑵求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
11511?C2?C21,解：⑴ ?1?1?4?1?2?3?6,?P(x?6)??1?2?4?2?2?3?7,?P(x?7)?? ?32044C6 ?1?3?4?2?2?4?8,?P(x?8)?3,?2?3?4?9,?P(x?9)?2?1,?P(x?6)?1?1?3?1?3
2020104420104
13 ,?1?1?3?1?2?2?5,P(x?5)?1020131131∴线路通过信息量的数学期望?4??5??6??7??8??9??6.5
1020442010⑵?1?1?2?4,P(x?4)?答：⑴线路信息畅通的概率是
3. ⑵线路通过信息量的数学期望是6.5 46．三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为1,3,3,将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.
244⑴在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
⑵三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？ 请画出此时电路图，并说明理由.
解：记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3，则
133P(A1)?,P(A2)?,P(A3)?.
244⑴不发生故障的事件为(A2?A3)A1.
∴不发生故障的概率为P1?P[(A2?A3)A1]?P(A1?A3)?P(A1)
11115 ?[1?P(A2)?P(A3)]?P(A1)?[1??]??44232⑵如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为(A1?A2)A3 ∴不发生故障概率为
21?P?P,21 32图2不发生故障事件为(A1?A3)A2，同理不发生故障概率为P3?P2?P1 P2?P[(A1?A2)A3]?P(A1?A2)?P(A3)?[1?P(A1)?P(A2)]P(A3)?
7．要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
⑴其中至少有一件废品的概率；⑵其中至多有一件废品的概率. 解：设事件A?“从甲机床抽得的一件是废品”；“从乙机床抽得的一件是废品”.则P(A)?0.05,P(B)?0.1 B?⑴至少有一件废品的概率P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?1?0.95?0.90?0.145 ⑵至多有一件废品的概率P?P(A?B?A?B?A?B)?0.05?0.9?0.95?0.1?0.95?0.9?0.995 8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，⑴求该题被乙独立解出的概率；⑵求解出该题的人数?的数学期望和方差 解：⑴记甲、乙分别解出此题的事件记为A,B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.则P(A)?P1?0.6,P(B)?P2
则0.4P2?0.32即P2?0.8 P(A?B)?1?P(A?B)?1?(1?P1)(1?P2)?P1?P2?PP12?0.92,?0.6?P2?0.6P2?0.92,⑵P(??0)?P(A)?P(B)?0.4?0.2?0.08,P(??1)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.2?0.4?0.8?0.44
P(??2)?P(A)?P(B)?0.6?0.8?0.48 ?的概率分布为:
? 0 1 0.08 0.44 P E??0?0.08?1?0.44?2?0.48?0.44?0.96?1.42 0.48 D??(0?1.4)2?0.08?(1?1.4)2?0.44?(2?1.4)2?0.48?0.1568?0.0704?0.1728?0.4 或利用D??E(?2)?(E?)2?2.36?1.96?0.49．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交x元保险金,若以? 表示公司每年的收益额,则?是一个随机变量,其分布列为：
x x?a p 1?p 因此，公司每年收益的期望值为E??x(1?p)?(x?a)p?x?ap． 为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E??0.1a，即x?ap?0.1a，故可得x?a(p?0.1)． 即顾客交的保险金为 a(p?0.1)时，可使公司期望获益0.1a．
? P 10．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指
标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2． ⑴求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
⑵求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
514解：⑴这批食品不能出厂的概率是： P?1?0.8?C5?0.8?0.2?0.263． 13⑵五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：P1?C4?0.2?0.8?0.8 13五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：P2?C4?0.2?0.8?0.2
由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：
13P?P1?P2?C4?0.2?0.8?0.4096．
11．高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.
⑴根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ ⑵高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
解：⑴参加单打的队员有A3种方法.参加双打的队员有C2种方法.
21所以，高三（1）班出场阵容共有A3?C2?12（种）
2121⑵高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，
111113?????. 22222812．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率. ⑴摸出2个或3个白球；⑵至少摸出一个黑球.
解：⑴设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A,B，则
所以，连胜两盘的概率为
1C52?C323C52?C33 P(A)??,P(B)??4477C8C8∵A,B为两个互斥事件, ∴P(A?B)?P(A)?P(B)?即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为
6 76 7C541⑵设摸出的4个球中全是白球为事件C，则P(C)?4?至少摸出一个黑球为事件C的对立事件
C814113其概率为1??
1414
新课程高中数学分层章节练习题(选修2-3)含答案电子教案
