瓜豆原理（与相似有关）
编者的话：上一节课已经体验了瓜豆妙用，能解决相应的最值问题．本节课继续学习瓜豆相关知识，但是难度要比上一节课要增大，本节不仅需要旋转还需要进行放缩，即与相似有联系．不过相信在理解前一节的基础上，再学本节会简单很多，我们一起来攻克吧！一、典型例题
例1．如图，∠AOB=60°，C，D是边OA上的两点，且OD=8，CD=2，点P是射线OB上一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连CQ，则CQ的最小值为
．
解：第一步：判断．点D为定点，P为主动点，Q为从动点，满足瓜豆原理．
第二步：画路径．局部变化：点Q是点P以定点D为位似中心，以
1为相似比缩小2而来．P点在射线OB上运动，则整体上变化：Q点的路径是射线OB以定点D为位似中心，
1为相似比缩小而来，即射线Q1Q为Q的运动路径．（实际作图：两点确定一条直线，2只要寻找两个特殊点即可．当点P在点O时，取OD中点Q1，连Q1Q并延长即可）．由位似的性质，△DQ1Q∽△DOP，且相似比为
1，Q1Q∥OB．2第三步：计算．即当CQ⊥Q1Q时，CQ2最小．∠AOB=∠AQ1Q=60°，CQ1=2，则CQ2=3．
例2．平面内两定点A，B之间的距离为8，P为一动点，且PB=2，连接AP，并且以AP为斜边在AP的上方作等腰直角△APC，如图，连接BC，则BC的最大值与最小值的差为 ．
百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫解：第一步，判断．确定P点的路径为⊙B．A为定点，P为主动点，C为从动点，满足瓜豆原理．
第二步，画路径．局部变化是点P到点C的变化是先绕点A逆时针旋转45°，再以A为位似中心，以2为相似比缩小．点P在⊙B上运动，则整体的变化：将⊙B先绕点22为相似比缩小得到⊙O．
（实际作图：以
2AB为斜边向上构造等腰直角三角形，顶点即为圆心O，连OC，以O为圆心OC为半径画A逆时针旋转45°，再以A为位似中心，以圆即得到⊙O）
第三步：计算．BC的最值转化为点圆位置关系，则BC2－BC1= C1C2，即为⊙O的直径22．例3．如图，等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，D是AB上的点，且AD=3．点E是BC边上的一动点，过E作EF⊥ED，使DE:EF?1:3，连接FD，CF，则CF的最小值是
．
百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫解：第一步：判断．点D为定点，E为主动点，F为从动点，满足瓜豆原理．
第二步：画路径．局部变化：点F是点E绕点D顺时针旋转60°，再以定点D为位似中心，以2为位似比放大得到；点E在BC上运动，则整体上变化：F的路径为BC绕点D顺时针旋转60°，再以定点D为位似中心，以2为位似比放大得到B’C’．（实际作图：将BD，DC分别顺时针旋转60°再扩大2倍得到B’，C’，连接即可）．
第三步：计算最小值CK．AD:AC=1:3，可得∠ADC=60°=∠BDB’，则B’，D，C共线且B’C=6；又△BDC∽△B’DC’，所以∠B’=∠B=45°，则CK=32．例4．如图，△ABO为等腰直角三角形，A（-4，0），直角顶点B在第二象限，点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着点C的运动也在一条直线上运动，这条直线的函数解析式是
．
图1 图2
解：第一步：判断．点B为定点，点C为主动点，点D为从动点，满足瓜豆原理．由于D点的位置没有明确，故分两种情况进行讨论．
第二步：画路径．局部变化：点D是点C先绕B旋转45°，再以B为位似中心以
2为位似比缩小而来．则整体上：D点的路径为y轴绕点B旋转45°，再以B为位似中2心以2为位似比缩小．（实际作图：直线型的我们可以寻找两个特殊点，两点确定一条直
2线．如图1，点C在y轴上，当BC1⊥y轴时，D1（-1，3）；当C2在O点时，D2（0，2）；如图2，当BC1⊥y轴时，D1（-1，1）；当C2在O点时，D2（-2，0）
第三步：计算．y??x?2；y?x?2．2、巩固练习
1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，E为对角线BD上一动点，以E为直角顶点，AE为直角边作等腰直角Rt△AEF，A，E，F按逆时针排列．当点E从点D运到到点B时，点F的运动路径长为
．
百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫【答案】：52．提示：法1，寻找始末位置，F1为开始的位置，F2为最终的位置，连接即为F的路径．利用勾股即可求得．法2，口算．E点的路径长为5，F点是由E点旋转扩大得到，满足瓜豆，知其路径也为线段，并且扩大2倍，即F的路径为52．2．如图，AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为边向右下作等腰△BDE，其中顶角∠BDE=120°，则点D从A运动到C的过程中，则E点的运动路径长为 ．
【答案】：26．提示：满足瓜豆原理．法1：画出路径具体求解．法2：口算法，D到E旋转放大3倍，即E点的路径为3AC?26．3．如图，在等边△ABC中，BC=6，D，E是BC边上的两点，且BD=CE=1，P是DE上一动点，过点P分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，连接MN，AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过BG扫过的区域面积为
．
百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫【答案】：线即G1G2?332 提示：满足瓜豆原理．找始末位置G1，G2，则G1G2为△ADE的中位
1133．∴133．DE?2,G2V?AU?S?G1G2?G2V?222224．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，4），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠ADE＝90°，连接OE，则OE的最小值为
．
【答案】：22．提示：瓜豆直线型，路径是x轴绕点O逆时针旋转45°得到．实际操作，找一个特殊点（图上已经有一点），C点为开始点，连接CE即为E点运动路径，则OE1为最小值．即OE1?OC?22．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D是半径为2的⊙A上一点，点E是CD的中点，则BE长的最大值是
．
【答案】：
71．提示：以C为位似中心，为位似比缩小，转化为点圆位置关系．226．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为
PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
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