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莂第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛
衿试题C参考答案(小学组)
芅一、 填空题(每小题10分，共80分) 肅题号 蒀1 膈 莈2 蚇3 羅 螈4 蒄5 蚃6 莈7 薅8 薃答案 肂 蚆 蒂 衿 蚈 肃
羁二、解答下列各题(每题l0分，共40分，要求写出简要过程)
9．答案：在1和2之间．
虿
蒅解答：
蒆111111111111?????=(?)?(?)?(?) 2357111321331157=
151412?? 263335
莀因为
15141215141241???????2， 2633352626262615141215141241???????1 26333535353535111111,,,,,的和在1和2之间． 23571113
荿又因为
薇所以六个分数
薄10．答案：10月份的第一天是星期四，3、5、8、11月有五个星期日． 解答：下表列出各个月的1号的相关信息．
螀肀月份 蚈2 蚂3 蒃4 袀5 莅6 肅7 羃8 薁9 蒇膃莂10 肇1号距1月 薈1号的天数 蒈除以7 膅的余数 1号的 星期数 11 12 薆 螁31 59 袇90 莅 蚄 膁 薈 莇 螂 蚀 芈120 151 181 212 243 273 304 334 聿3 肈3 芆6 芃1 螃4 蝿6 芇2 蚅5 0 3 5 日 日 三 五 一 三 六 二 四 日 二 10月1号与l月1号相距273天，273是7的倍数，所以，10月份的第一天也是星期四．
3月1号是星期日，3月份有31天，所以3月有5个星期日； 5月3号是星期日，5月份有31天，所以5月有5个星期日； 8月2号是星期日，8月份有31天，所以8月有5个星期日； 11月1号是星期日，11月份有30天，所以11月有5个星期日． 11．答案：540或l08．
解答：如果b不2的倍数，因为[a,b]?22?3?5，则a一定是2的倍数．由
22此可知[a,c]一定是2的倍数．但是[a,c]?2?3?5不是2的倍数．所以
222b是22的倍数．同理可得c是32的倍数．所以[b,c]应被22?32整除． 因为[a,b]?60，[a,c]?270，所以60是b的倍数，270是c的倍数．
所以b，c的最小公倍数[b，c]是[60，270]的约数． 因为[60，270]=22·33·5，
所以[b，c]= 22·33·5=540或[b，c]= 22·33=108．
当a=1，b=60，c=270时，[a，c]=60，[a，c]=270，[b，c]=540； 当a=5，b=12，c=54时，[a，c]=60，[a，c]=270，[b，c]=108． 12．答案：l00．
解答：面积是l的等边三角形有32个；面积是4的等边三角形有18个；面积是9的等边三角形有8个；面积是16的等边三角形有2个；
利用对称的性质，如图l，红色等边三角形的面积是由6个面积是l的等边三角形组成的正六边形面积的一半，等于3；面积是3的等边3角形共有9×2=18个；
利用对称的性质，如图2和图3所示，蓝色等边三角形的面积是：
1?4?3?1?7，面积是7的等边三角形共有2×4×2=16个； 2利用对称性的性质，如图4，黄色等边三角形的面积是有2个．
如图5所示，灰色的正三角形的面积为的正三角形共有4个．
因此，可以连成的等边三角形总计有：
32?18?8?2?18?16?2?4?100(个)．
1?24?12的21?6?3?4?13，面积为132三、解答下列各题 (每小题15分，共30分，要求写出详细过程)
613．答案：．
191解答：设三角形OCD的面积为x，梯形的高为h，则：(AB?CD)h?4．
2 因为AB?5，CD?3，所以h?1．
13 因为S?OCD?S?OBC?S?BCD?CD?h?，
2233 所以S?OBC??S?OCD，即S?OBC??x ……………………①
225 同理可得S?OAB??S?OBC?1?x ………………………②
2 因为S?OAD?S?OCD?S?OBC?S?OCD，所以S?OAD?S?OBC． ……③ 由三角形面积公式得
S?OABAOS?OADSS，即?OAB??OAD ??S?OBCOCS?OCDS?OBCS?OCD所以S?OAB?S?OCD?S?OBC?S?OAD ………………………………④ 由①，②，③，④得(1?x)x?(?x)(?x)，所以x?即S?OCD3299?．所以?OCD的面积为． 1616329， 1614．答案：l 59．
解答：因为48能被3整除，所以“第十四届”所表示的数能被3整除，即“第十四届”的四个数字之和能被3整除．
又因为1+2+3+…+9=45能被3整除，所以“华杯赛”表示的数的数字之和也能被3整除，即“华杯赛”所代表的数能被3整除．
因为48能被4整除，而且“祝”字是4，“贺”字是8，所以“届”为偶数，只能取2或6．
又“祝贺”与“华杯赛”的乘积为四位数，所以“华”字代表的数字
只能是1．否则，即使“华杯赛”取最小的三位数为213，48×213=10224是五位数，所以取其它的三位数将更不符合要求．
(1)当“届”取数字“2”时，则“赛”字只能是9，此时，算式是：
48?1杯9?第十四2．
因为余下的4个数字3，5，6，7中，只有5与10的和能被3整除，所以“杯”字只能取5．
此时，48×159=7632，符合要求． 故“华杯赛”所代表的整数是159．
(2)当“届”取数字“6”时，则“赛”取数字“2”或“7”．
①若“赛”取数字“2”时，此时算式是48?1杯2?第十四6． 因为3与3，5，7，9的和分别为6，8，10，12，所以“杯”可以取数字“3”或“9”．
但是48×132=6336，48×192=9216，显然不符合要求．
②若“赛”取数字“7”时，此时算式是48?1杯7?第十四6． 因为8与2，3，5，9的和分别为10，11，13，17均不能被3整除，所以不存在“1杯7”使得等式48?1杯7?第十四6成立．
所以“华杯赛”所代表的整数为l59．
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第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C（小学组）参考答案
