2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（1）
文科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合M???x,y?x?y?2?，N???x,y?x?y?2?，则集合MIN?（ ）
A．?0,2? B．?2,0? C．??0,2?? D．??2,0?? 【答案】D
【解析】解方程组??x?y?2，得??x?y?2?x?2．故?y?0MIN???2,0??．选D．
2．设复数z?1?2i（i是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为（ ） A．??3,4? B．?5,4? C．??3,2? D．?3,4? 【答案】A
【解析】z?1?2i?z2??1?2i?2?1?4?4i??3?4i，所以复数z2对应的点为??3,4?，故选A．
3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x?0，则一开始输入的x的值为（ ）
A．34 B．78 C．1516 D．3132 【答案】C 【解析】i?1， （1）x?2x?1,i?2， （2）x?2?2x?1??1?4x?3,i?3，
（3）x?2?4x?3??1?8x?7,i?4，
（4）x?2?8x?7??1?16x?15,i?5，
所以输出16x?15?0，得x?1516，故选C． 4．已知cos??????2?????2cos?????，则tan???4??????（ ） A．?4 B．4 C．?1 13D．3 【答案】C
【解析】因为cos????2??????2cos?????，所以?sin???2cos??tan??2， 所以tan????11?4??????tan?1?tan???3，故选C．
x2y25．已知双曲线a2?b2?1?a?0,b?0?的一个焦点为F??2,0?，一条渐近线的斜率为3，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2y23?y2?1 B．x2?y23?1 C．3?x2?1 D．y2?x23?1 【答案】B
【解析】令x2y2bba2?b2?0，解得y??ax，故双曲线的渐近线方程为y??ax．
??ba?3由题意得??a2?c?2 ，解得???12y22 ，∴该双曲线的方程为x??1．选B． c2?a2?b2??b?33?6．某家具厂的原材料费支出x与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y??8x?b?，则b?为（ ） x 2 4 5 6 8 y 25 35 60 55 75 A．5 B．15
C．12
D．20
【答案】C
【解析】由题意可得：x?2?4?5?6?825?35?60?55?755?5，y?5?52，
回归方程过样本中心点，则：52?8?5?b?，?b??12．本题选择C选项． 7．已知f?x??2018x2017?2017x2016?L?2x?1，下列程序框图设计的是求f?x0?的值，在“?”中应填的执行语句是（ ）
开始输入x0i=1,n=2018S=2018i=i+12017？否S=S+ni≤是输出SS=Sx0结束 A．n?2018?i B．n?2017?i C．n?2018?i
D．n?2017?i 【答案】A
【解析】不妨设x0?1，要计算f?1??2018?2017?2016?L?2?1，
首先S?2018?1?2018，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填n?2018?i． 8．设0?x?π2，则“cosx?x2”是“cosx＜x”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】作图y?cos x，y?x2，y?x，x???0,???2??，可得cosx?x2解集为??m,???2??，cosx?x解集为???n,??2??，因为?????m,2??????n,??2??，因此选A． 9．如图为正方体ABCD?A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l?MA1?MC1?MD之间满足函数关系l?f?x?，则此函数图象大致是（ ）
A． B． C． D． 【答案】C
【解析】取线段B1A中点为N，计算得：lN?NA1?NC1?ND?6?22?2?3?lB1?lA．同理，当N为线段AC或CB1的中点时，计算得lN?NA1?NC1?ND?6?22?2?3?lB1，符合C项的图象特征．故选C． x2y210．已知双曲线E：a2?b2?1(a?0,b?0)的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段BF的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．12 B．15 C．2 D．3
【答案】D
?b2【解析】不妨设B??c,??，由此可得A?a,0?，C??c,?b2??，F?b2??a??a??c,0?，M??0,2a?，?b2b2由于A，C，M三点共线，故2a?a?aa?c，化简得c?3a，故离心率e?3．
11．已知点A?4,3?和点B?1,2?，点O为坐标原点，则uOAuur?tOBuuur?t?R?的最小值为（ ）A．52 B．5
C．3
D．5 【答案】D
【解析】由题意可得：uOAuur??4,3?，uOBuur??1,2?，则： uOAuur?tOBuuur??4,3??t?1,2???4?t,3?2t???4?t?2??3?2t?2?5t2?20t?25，
uuuruuur结合二次函数的性质可得，当t??2时，OA?tOBmin?5?4?20?2?25?5． 本题选择D选项．
．已知椭圆Cx2y2x2a＞by2121:2?2?1?a11＞0?与双曲线C2:a2?2?1?a2＞0,b2＞0?有相同1b12b2的焦点F1,F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2?2PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2?e1的取值范围是（ ）
A．??1??1??3,???? B．??3,???? C．??1,???D．??1?2?? ?2,????? 【答案】D 【解析】设F1F2?2c，令PF1?t，由题意可得：t?c?2a2，t?c?2a1，
据此可得：ac，则：11?a2?e?1?1，ee21?， 1e2e2?1则：ee22e212?e1?e2?e1?e?2，由e2?1可得：0?1?1， 2?2?1??1?1e2?e??2?e2?1?2结合二次函数的性质可得：?1?e????0,1?， 2?e2则：e12?e1?2，即e2?e?1?1的取值范围是??2,????．本题选择D选项．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知平面向量a与b的夹角为?3，且b?1，a?2b?23，则a?__________．
【答案】2
【解析】Qa?2b?23，?a?2b2?12，即a2?4a?b?4b2?12，
?a2?4a?1?cos60??4?12?12，化简得：a2?2a?8?0，?a?2．
14．如果P21，P2，…，P10是抛物线C：y?4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x10，是抛物线C的焦点，若x1?x2?L?x10?10，则PF1?P2F?L?P10F?_________．
【答案】20
【解析】由抛物线方程y2?4x，可得p?2．
则PF1?P2F?L?P10F?xp1?2?xpp2?2?L?x10?2?10?5p?20， 故答案为：20．
?x?y?2≥015．若x，y满足约束条件??x?y?4≤0 ，则y的取值范围为__________．??y≥2x?1
【答案】??2??3,2?? 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
yx?1表示可行域内的点M?x,y?与点P??1,0?连线的斜率． 由??x?y?4?0，解得?x?2?y?2??y?2 ，故得B?2,2?； 由??x?y?2?0，解得??y?2?x?0?y?2 ，故得A?0,2?． 因此可得kPA?2，kPB?23， 结合图形可得y?2??2x?1的取值范围为??3,2??．答案：??3,2???． 16．在三棱椎P?ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且PA?PB?2，PA?AC，则该三棱椎外接球的表面积为________．
【答案】12π
【解析】由于PA?PB，CA?CB，PA?AC，则PB?CB，因此取PC中点O，则有OP?OC?OA?OB，即O为三棱锥P?ABC外接球球心，又由PA?PB?2，得AC?AB?22，所以PC?22??22?2?23，所以S?4???3?2?12?．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列?a2a*n?满足Sn?n?n?n?N?．
（1）证明：?an?1?是等比数列； （2）求a1?a3?a5?...?a2n?1?n?N*?．
【答案】（1）证明见解析；（2）22n?3?3n?53．
【解析】（1）由S1?2a1?1得：a1?1，···········1分 因为Sn?Sn?1??2an?n???2an?1??n?1???n≥2?，
所以an?2an?1?1，···········3分 从而由aan?1n?1?2?an?1?1?得a?1?2?n≥2?，···········5分
n?1所以?an?1?是以2为首项，2为公比的等比数列．···········6分
（2）由（1）得ann?2?1，···········8分
所以a2?1?4n?1?1?a3?a5?????a2n?1??2?23?????22n?1???n?1??1?4??n?1? 22n?3??3n?53．···········12分
18．“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照?0.1,0.2?，?0.2,0.3?，L，?0.9,1?分组，得到如下频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（2）从这100名购物金额不少于0．8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．
【答案】（1）64（元）；（2）1021． 【解析】（1）购物者获得50元优惠券的概率为：?1.5?2?2.5??0.1?0.6，····1分 购物者获得100元优惠券的概率为：?1.5?0.5??0.1?0.2，···········2分 购物者获得200元优惠券的概率为：?0.5?0.2??0.1?0.07，···········3分
∴获得优惠券金额的平均数为：50?0.6?100?0.2?200?0.07?64（元）．····6分
（2）这100名购物者购物金额不少于0.8万元的共有7人，不妨记为A，B，C，D，E，F，G，其中购物金额在0.8～0.9万元有5人（为A，B，C，D，E），利用画树状图或列表的办法易知从购物金额不少于0．8万元7人中选2人，有21种可能；这两人来自于购物金额在0．8～0．9万元的5人，共有10种可能，
所以，相应的概率为1021．···········12分 19．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D,E分别是棱BC,AB的中点，点F在CC1棱上，且AB?AC，AA1?3，BC?CF?2．
（1）求证：C1E∥平面ADF；
（2）当AB?2时，求三棱锥A1?DEF的体积．
【答案】（1）见解析；（2）312．
【解析】（1）连接CE交AD于点P，连接PF，
由D，E分别是棱BC，AB中点，故点P为?ABC的重心，···········2分
?在△CC1E中，有CPCE?CFCC?23， 1?PF∥EC1，··········4分
又EC1?平面ADF，?C1E∥平面ADF，···········6分
（2）取AA1上一点H使AH?2HA1， ∵CF?2FC1且直三棱柱ABC?A1B1C1， ∴HF∥AC，∵D,E为中点，
∴DE∥AC，DE∥HF，HF∥平面A1DE，···········8分 ∴VA1?DEF?VF?A1DE?VH?A1DE?VD?A1HE，···········9分
而S1?EHA1?2?1?1?12， 点D到平面AA1B1B的距离等于32， ∴VD?A1HE?13?12?32?312?VA1?DEF， ∴三棱锥A1?DEF的体积为312．···········12分 20．已知椭圆C:x2y2a2?b2?1(a?b?0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为23．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点P?0,2?的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足uOMuuuv?uONuuv?2（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x2y24?3?1；(2)答案见解析． ?2b?2【解析】（1）由题意得：?3?a?2c ，···········2分
??a2?b2?c2解得???a?2，∴椭圆Cx2?的标准方程是?y2?1·?b?343··········4分 （2）当直线l的斜率不存在时，M?0,3?，N?0,?3? uOMuuuv?uONuuv??3，不符合题意···········5分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?2，M?x1,y1?，N?x2,y2? ?由?x2??y2?1 消y整理得：?43?3?4k2?x2?16kx?4?0， ?y?kx?2???16k?2?16?3?4k2??0，解得k??112或k?2，···········6分
x1?x2??16k3?4k2，x1x2?43?4k2，···········7分 ∴uOMuuuv?uONuuv?x21x2?y1y2??1?k?x1x2?2k?x1?x2??4 ?4?1?k2?16?12k23?4k2?32k23?4k2?4?3?4k2，·
··········9分
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(1)（文科数学含答案详解）
