北京航空航天大学
2018－2019 学年 第一学期期末考试
《 工科数学分析（Ⅰ）》 （A卷）
班号 学号 姓名 主讲教师 考场 成绩
题 号 成 绩 阅卷人 校对人 一 二 三 四 五 六 七 总分
2019年01月 11日
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一、 选择题（每题4分，满20分）
1. 曲线
?x?sint?tcost?,0?t??2?y?cost?tsint的弧长为（ D ）.
222???2; C. ; D. . A. ?; B. 24811?x2. 设f(x)满足等式f(x)??e?f(x)dx，则f(x)=（ D ）. 201?x1e1?x1e1?xA. ?; B. ?; 221?x21?x4C.
1?1?x1?1?x D. ?e;?e. 221?x21?x4d?ex??（ C ）.
xf(t)dt3. 设函数f(x)可导，则??dx??0?A.
xf(ex); B. xexf(ex);
xxC. xef(e)??ex0f(t)dt; D. xf(e)??f(t)dt..
0xex4. 下列广义积分中，收敛的是（ B ）.
A.
???11dx； B.
x?2x?1xarctanx ?+?2?x3dx；0C.
???21dx； D. xlnx?+?11sindx.
x5. 设函数
f(x)在区间[a,b]上可积，则下列4个结论中正确的是 （ A ）.
f(x)，则?dF(x)?F(x)?C；
(1) 若F?(x)?(2)若[a,b]?[c,d]，则(3)若
?baf(x)dx??f(x)dx；
cdf(x)为奇函数, 则其原函数F(x)必为偶函数； f(x)为周期函数, 则其原函数F(x)必为周期函数；
(4) 若
A. (1)(3)； B. (2)(4)； C. (1)(2)(3)； D. (1)(2)(3)(4).
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二、 计算题（每题6分，满分30分）
1.
?2x+3dx 2x?3x?102x+32x+3AB, 计算可得A?1,B?1 ???2x?3x?10(x?5)(x?2)x?5x?2解：
?2x+3ABdx?dx?dx?ln|x?5|?ln|x?2|?C 2??x?3x?10x?5x?22.
?arcsin2xdx 解：?arcsin2xdx?xarcsin2x??2xarcsinx1?x2dx
?xarcsin2x?2?arcsinxd(?1?x2)?xarcsin2x+21?x2arcsinx?2?dx
?xarcsin2x+21?x2arcsinx?2x?C?1x2?sin2019xcos23. x?11?x2dx 1x2?sin2019xcos2x1x2解： 由对称性，??11?x2dx???11?x2dx ?1x211??11?x2dx???1(1?1?x2)dx?(x?arctanx)1?1?2?2 22tdt4.
lim?x0ex?0cos(2x)sinx2
x22tx2解：
lim?0edt?lim?0e2tdtxe2x2x?0cos(2x)sinx2x?0x2?lim2x?02x?1
5. 计算瑕积分
?2104?x2dx.
12??解： 2是瑕点，?2x04?x2dx??lim?0?arcsin2??02
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三、 （本题10分，每题5分） (1)利用定积分定义，求极限lim解
122(1?2?3?n??n3?n2).
lim122(1?2?3?n??n3121123?n2)?lim[()2?()2?()2?n??nnnnn?()2]n1=?xdx? 03xndx. (2)求极限lim?n??01?x1n1x1xn1nn0??x?0?dx?xdx?解法1：，夹逼定理得到极限为0 ?01?x?01?xn?1xn1limdx?lim解法2：
n???01?xn??1??1?10xndx?lim11??0
n??1??1?nn1??x1xnxndx??dx??dx,?为任意小于1的正数 解法3：?01?x01?x1??1?x11??0??0xn?n?(1??)?(1??)n，夹逼定理得到此部分极限为0 1?x1??n11xxn0??dx??dx??,由?的任意性可得此极限为0。故lim?dx=0
1??1?x1??n??01?x1
四、 (本题8分)
(1)求二阶线性非齐次常微分方程y???3y??2y?e的通解； (2)求上述方程满足y(0)?0,y?(0)?1的特解 .
解： （1）对应齐次方程的特征方程为?23x?3??2?0, 特征根为1,2
故对应齐次方程的通解为y?c1e设非齐次方程的特解为y*x?c2e2x
1, 2?Ae3x，代入原方程得A?x2x13x故此非齐次方程通解为y?c1e?c2e?e
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（2）将初始条件代入方程通解得
c1?c2?13?0,c1?2c2??1，解得2211x13xc1??,c2?0，故特解为y??e?e
222
五、 (本题10分)
过点(1,1)作抛物线y?2?x2的切线，求由此切线，抛物线以及x轴所围成的公共区域的面
积以及此区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
3?解：(1)y，抛??2xx?1??2，切线方程为y??2x?3，切线与x轴交于点（,0）x?12物线与x轴交于点（? 2,0）所围成的曲边三角形面积为
S??(?2x?3)dx???2342?123321213?x3?222(2?x)dx???x?3x?2??2x??3?11? ?3?22?3?1222342(2) V????2(?2x?3)dx??(2?x)dx?????(?2x?3)2??(4?x?4x)dx?111?6???1????
?1?x543?2?=????4x??x??6531???????14332????+?2?61515??
?9132?????2?3015??
六、 (本题10分)
讨论无穷广义积分件收敛 . 解：积分
?＋?1xsin(2x)(1?arctanx)dx的敛散性，若收敛，说明是绝对还是条
x?1?＋?1Axsin(2x)dx中，F(A)??sin(2x)dx在[1,??)上有界
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2018年秋北航工科数分期末考题（含参考解答）
