111f()??2?22211?n?1?2?1?0,
121?2由连续函数的零点存在性定理可知f?x?在(,1)至少存在一个零点.又
12f?(x)?nxn?1?(n?1)xn?2?所以f(x)在[,1]根.
121?2x?1?0(?x?1),
21nn?1,f(x)在(,1)的零点唯一,即x?x?21?x?1在(,1)内只有一个
2(Ⅱ)记fn(x)?xn?xn?1?1?x?1,它的唯一零点记为xn(xn?(,1)).现证xn2.由于
fn?1(x)?xn?1?xn?12?x?1?xn?1?fn(x),
12n?1显然fn?1()?0,fn?1(xn)?xn?0?fn?1(x)在(,xn)有唯一零点,此零点必然是xn?1,且
1?xn?1?xn 2因此xn单调下降且有界,故必存在极限limxn记a(a?[,1))
n??12因x?xnnn?1n?n?1xn?xn?1, ?xn?1,即
1?xn令n???即limxn?n??a?01?1?a? 1?a21. 2?1?0(22)设A???0??aa1000a100??1????0??1,????
?0?a????1??0?(I)计算行列式A;
(II)当实数a取何值时,方程组Ax??有无穷多解,并求其通解.
16
【考点】行列式按行(列)展开定理;非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D?ai1Ai1?ai2Ai2?或D?a1jA1j?a2jA2j??ainAin(i?1,2,,n),
?anjAnj(j?1,2,,n).
(ii)设A是m?n矩阵,方程组Ax?b,则方程组有无穷多解?r(A)?r(A)?n (I)按第一列展开,即得
1a0a00A?1?01a?a(?1)4?11a0?1?a4
00101a(Ⅱ)因为A?0时,方程组Ax??有可能有无穷多解.由(I)知a?1或a??1 当a?1时,
?1?0?(A?)??0??1?1001??1??110?1??0?0110??0??0010????01001??110?1?,
0110??0002??由于r(A)?3,r(A)?4,故方程组无解.因此,当a?1时不合题意,应舍去. 当a??1时,
?1?1001??1???01?10?10???(A?)???001?10??0????10010??????000?10??10?1?1?,
01?10??0000??由于r(A)?r(A)?3,故方程组Ax??有无穷多解.选x3为自由变量,得方程组通解为:
(0,?1,0,0)T?k(1,1,1,1)T(k为任意常数).
17
?1?0(23)已知A????1??0(I)求实数a的值;
01??11?,二次型f(x1,x2,x3)?xT(ATA)x的秩为2
0a??a?1?(II)求正交变换x?Qy将f化为标准形.
【考点】二次型的秩;实对称矩阵的特征值和特征向量;用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)实对称矩阵的特性:不同特征值的特征向量互相正交. (ii)任给二次型f?2f??1y12??2y2?i,j?1?axx(aijijnij?aji),总有正交变换x?Py,使f化为标准形
2,其中?1,?2,??nyn,?n是f的矩阵A?(aij)的特征值.
(I)二次型xT(ATA)x的秩为2,即r(ATA)?2 因为r(ATA)?r(A),故r(A)?2.对A作初等变换有
01??1?011????0a??0??a?1??0所以a??1.
?1?0A????1??001?11??, 0a?1??00??202???T(II)当a??1时,AA?022.由
????224????2?E?ATA?0?20?2?2??(??2)(??6), ??4??2?2可知矩阵AA的特征值为0,2,6.
T 18
对??0,由(0E?ATA)x?0得基础解系(?1,?1,1)T, 对??2,由(2E?ATA)x?0得基础解系(?1,1,0)T, 对??6,由(6E?ATA)x?0得基础解系(1,1,2)T. 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交,故只需单位化.
?1?111(?1,?1,1)T,?2?(?1,1,0)T,?3?(1,1,2)T. 326?1??3?x1?????1那么令x2?????3???x?3??1?3?
121201??6?y?1?1???TTT22,就有. yx(AA)x?y?y?2y?6y223???6??y3???2??6?? 19
2012年考研数学二试题及答案
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)