2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x2?x(1) 曲线y?2渐近线的条数 ( )
x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C
【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii）渐近线分为水平渐近线（limf(x)?b，b为常数）、垂直渐近线（limf(x)??）和斜
x??x?x0渐近线（lim[f(x)?(ax?b)]?0，a,b为常数）。
x??（iii）注意：如果
f(x)不存在；
x??xf(x)?a，但lim[f(x)?ax]不存在，可断定f(x)不存在斜渐近线。 （2）limx??x??x（1）limx2?x在本题中，函数y?2的间断点只有x??1.
x?1由于limy??，故x?1是垂直渐近线.
x?1（而limy?limx??1x(x?1)1?，故x??1不是渐近线）.
x??1(x?1)(x?1)21x?1，故y?1是水平渐近线.（无斜渐近线） 又limy?limx??x??11?2x1?综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数f(x)?(e?1)(e
x2x?2)(enx?n),其中n为正整数,则f?(0)? ( )
1
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn! 【答案】A
【考点】导数的概念 【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点：
f?(x0)?limx?0f(x0?x)?f(x0)y?lim. x?0xx在本题中，按定义
f(x)?f(0)(ex?1)(e2x?2)f?(0)?lim?limx?0x?0x?0x(enx?n)
?(?1)?(?2)??[?(n?1)]?(?1)n?1(n?1)!.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点：
f?(x)?[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x).
在本题中，用乘积求导公式.含因子e?1项在x?0为0，故只留下一项.于是
xf?(0)?[ex(e2x?2)故选（A）.
(enx?n)]?(?1)?(?2)?x?0?[?(n?1)]?(?1)n?1(n?1)!
(3) 设an?0(n?1,2,)，Sn?a1?a2?a3??an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的( )
（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】B
【考点】数列极限 【难易度】★★★
【详解】因an?0(n?1,2,)，所以Sn?a1?a2?a3?若数列?Sn?有界，则limSn存在，于是
n???an单调上升.
liman?lim(Sn?Sn?1)?limSn?limSn?1?0
n??n??n??n??反之，若数列?an?收敛，则数列?Sn?不一定有界.例如，取an?1(n?1,2,界的.
2
)，则Sn?n是无
因此，数列?Sn?有界是数列?an?收敛的充分非必要条件.故选（B）. (4)设IK??exsinxdx(k?1,2,3)则有 ( )
0k?2(A)I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D)I2?I1?I3 【答案】D
【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设a?c?b，则?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.
aacbcb在本题中，
I1??exsinxdx，I2??exsinxdx，I3??exsinxdx
000?22?23?2I2?I1??exsinxdx?0?I2?I1，
?2?2I3?I2??esinxdx?0?I3?I2，
2?3?x2I3?I1??exsinxdx??exsinxdx??exsinxdx
??2?3?22?23?2??e(t??)sin(t??)dt??exsinxdx??[ex?e(x??)]sinxdx?0?I3?I1
2?2?2?3?23?23?22因此I2?I1?I3.故选D.
（5）设函数f(x,y)可微，且对任意的x,y都有
?f(x,y)?f(x,y)?0，则使不等式?0，
?y?xf(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充分条件是( )
（A）x1?x2，y1?y2 （B）x1?x2，y1?y2 （C）x1?x2，y1?y2 （D）x1?x2，y1?y2 【答案】D
【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
3
函数单调性的判定法 设函数y?f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. ①如果在(a,b)内f?(x)?0，那么函数y?f(x)在[a,b]上单调增加； ②如果在(a,b)内f?(x)?0，那么函数y?f(x)在[a,b]上单调减少. 在本题中，因
?f(x,y)?0，当y固定时对x单调上升，故当x1?x2时f(x1,y1)?f(x2,y1) ?x又因
?f(x,y)?0，当x固定时对y单调下降，故当y1?y2时f(x2,y1)?f(x2,y2) ?y因此，当x1?x2，y1?y2时f(x1,y1)?f(x2,y1)?f(x2,y2) 故选D.
（6）设区域D由曲线y?sinx，x??（A）?
（B）2
?2，y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?( )
D（C）-2
（D）??
【答案】D
【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
??D0,??f(x,y)dxdy??2f(x,y)dxdy,????D1?51f(x,y)对x或y为奇函数，f(x,y)对x或y为偶函数
?11在本题中，??(xy?1)dxdy??2?dx?(xy?1)dy??2?(x5y2?y)dx
sinx??sinx222D5?152??2?x(1?sinx)dx??2?(1?sinx)dx??? ?2?22?其中
?15x(1?sin2x)，sinx均为奇函数，所以 2?152???22x(1?sinx)dx?0，??2?2sinxdx?0
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故选（D）
?0??0??1???1????????? (7)设?1??0?,?2??1? ,?3???1? ,?4??1? ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量
?c??c??c??c??3??4??1??2?组线性相关的为( )
(A)?1,?2,?3 (B) ?1,?2,?4 (C)?1,?3,?4 (D)?2,?3,?4 【答案】C
【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
n个n维向量相关??1,?2,,?n?0
在本题中，显然
01?1?1,?3,?4?0c1?11?0， c2c3所以?1,?3,?4必线性相关.故选C.
?100???(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且p?1AP??010?.若P=（?1,?2,?3），
?002??????(1???2,?2,3)，则Q?1AQ? ( )
?100??100??200??200?????????(A) ?020? (B) ?010? (C) ?010? (D)?020?
?001??002??002??001?????????【答案】B
【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A是一个m?n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；
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2012年考研数学二试题及答案
