习题课 机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒的条件：只有重力、系统内弹力做功． 2．机械能守恒定律的三种表达式
(1)从能量守恒的角度：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2． (2)从能量转化的角度：ΔEk＝－ΔEp． (3)从能量转移的角度：ΔEA＝－ΔEB．
多物体系统的机械能守恒问题
(2019·宁波效实中学测试)如图所示，在竖直方向上A、B
两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上；B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上，用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、
cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后它沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：
(1)斜面倾角α； (2)B获得的最大速度v．
[思路点拨] 求解时首先要深刻挖掘“A刚离开地面时，B获得最大速度”所隐含的条件，即A与地面间无弹力且A、B、C均处于平衡状态，其次根据初状态弹簧的压缩量与末状态弹簧的伸长量相同，从而得到初状态与末状态弹簧弹性势能相同．
[解析] (1)设当物体A刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为xA. 对A有：kxA＝mg
此时B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线拉力FT三个力的作用．设B的加速度为a，根据牛顿第二定律
对B有：FT－mg－kxA＝ma 对C有：4mgsin α－FT＝4ma 当B获得最大速度时，有a＝0 由此解得sin α＝0.5，所以α＝30°.
mg
(2)开始时弹簧压缩的长度为xB＝，显然xA＝xB
k
当物体A刚离开地面时，B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离为xA＋xB.由于xA＝xB，则弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物1
体的速度相等，设为v，由机械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sin α－mg(xA＋xB)＝(4m＋m)v2，
2解得v＝2g
m. 5k
m 5k
【通关练习】
1．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒 B．弹簧弹性势能变化了3mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
解析：选B.圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝3L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝3mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误．
2．(2019·绍兴月考)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m．两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中不正确的是( )
[答案] (1)30° (2)2g
A．下滑的整个过程中A球机械能守恒
B．下滑的整个过程中两球及轻杆组成的系统机械能守恒
C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为
8
m/s 3
2
D．系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J
3
解析：选A.下滑过程中小球A、B和轻杆组成的系统机械能守恒，B对，A错；设两球1
到达光滑水平面上的速度为v，由机械能守恒定律得mAg(Lsin 30°＋h)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，
2代入数据得v＝
81
m/s，C对；B球的机械能增加量为ΔEB＝mBv2－mBgh＝32
?1×2×?
?2?
28?2
－2×10×0.1? J＝ J，D对．
33??
机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：
(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接．这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系．
(2)系统内两个物体通过轻绳连接．如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒．解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等．
(3)系统内两个物体通过轻杆连接．轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体的角速度相等．
链条类系统的机械能守恒问题
如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，
斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大．
[解析] 释放后的链条，竖直方向的一半向下运动，放在斜面上的一半向上
运动，由于竖直部分越来越多，所以链条做的是变加速运动，不能用一般运动学公式去解．因为斜面光滑，所以机械能守恒，链条得到的动能应是由势能转化的，重力势能的变化可以用重心的位置确定．
设斜面最高点为零势能点，链条总质量为m，
mL
开始时左半部分的重力势能Ep1＝－g·sin θ，
24mL
右半部分的重力势能Ep2＝－g·，
24m
机械能E1＝Ep1＋Ep2＝－gL(1＋sin θ)．
8当链条刚好全部滑出斜面时，
L1
重力势能Ep＝－mg，动能Ek＝mv2，
22mg1
机械能E2＝Ep＋Ek＝－L＋mv2.
22由机械能守恒得E1＝E2，
mgLmgL12
所以－(1＋sin θ)＝－＋mv，
822整理得v＝[答案]
gL（3－sin θ）
.
2
gL（3－sin θ）
2
【通关练习】
1．如图所示，质量分别为m和3m的小球A和B可视为质点，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(h A． C． gh 2gh 3 B．2gh D． gh 6 1 解析：选A.由h 2gh ，选项A正确． 2 2．如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？ 解析：法一(取整个铁链为研究对象)： 1 设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则 4 1 重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·L 4 由机械能守恒得： 121 mv＝mg·L，则v＝ 24 法二(将铁链看做两段)： 铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置． 1L重力势能减少量为ΔEp＝mg· 2211L 由机械能守恒得：mv2＝mg· 222则v＝ 答案： 重力势能的变化与运动的过程无关，只与初、末状态有关，对于不可视为质点的物体(常见于“链条、液柱”模型)，可对物体分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化，只要研究对象在变化过程中符合机械能守恒条件，即可用机械能守恒定律进行求解．这种思想也是解决变力做功过程中势能变化的基本方法． 机械能守恒定律在曲线运动中的应用 如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R 3 的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B 4点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆弧轨道经过最高点C，重力加速度大小为g．求： (1)小球在AB段运动的加速度的大小； (2)小球从D点运动到A点所用的时间． [思路点拨] 小球在AB段做初速度为零的匀加速直线运动，在BCD段做变速圆周运动，在DA段做竖直下抛运动．根据牛顿第二定律和机械能守恒定律进行求解． gL . 2gL 2 gL. 2
2019-2020学年人教版物理必修二新素养浙江专用学案：第七章 习题课 机械能守恒定律的应用 Word版含答案
