2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 1 of 10
北 京 交 通 大 学
2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）
参 考 答 案
一．（本题满分8分）
某中学学生期末考试中数学不及格的为11%，语文不及格的为7%，两门课程都不及格的为2%．⑴ 已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵ 已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）． 解：
设A?“某学生数学考试不及格”，B?“某学生语文考试不及格”． 由题设，P?A??0.11，P?B??0.07，P?AB??0.02． ⑴ 所求概率为P?BA??P?AB?0.022??． P?A?0.1111 ⑵ 所求概率为PAB?二．（本题满分8分）
P?AB?0.07?0.025??PP??ABB???P?B?P??B??．
?0.077 两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率． 解：
设A?“任取一个零件是不合格品”，B?“任取一个零件是第一台车床加工的”． 所求概率为P?BA?．由Bayes公式得 P?BA??P?B?P?AB??P?B?P?AB?P?B?P?AB?
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1?0.0553 ??．
12?0.05??0.031133三．（本题满分8分）
设随机变量X的密度函数为
x??Ccos0?x??f?x??? ． 2?其它?0⑴ 求常数C（3分）；⑵ 现对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于 解：
???的次数，求E?Y2?（5分）． 3 ⑴ 由密度函数的性质，
?????f?x?dx?1，得
?xx?2C， 1??f?x?dx??Ccosdx?2Csin220??0?因此，C?1． 2????? ⑵ 由于P?X???3????31xx11f?x?dx??cosdx?sin?1??．
22?22?233??所以，随机变量Y的分布列为
?1?P?Y?k??C???， ?k?0,1,2,3,4?．
?2?k4k所以 EY??k2?P?Y?k?
2k?0??4 ?02?14641?12??22??32??42??5． 1616161616四．（本题满分8分） 在正方形D??p,根的概率． 解：
?q?：p?1,2求使得方程x?px?q?0有两个实q?1?中任取一点?p,q?，
设A?“方程x2?px?q?0有两个实根”，所求概率为P?A?．
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设所取的两个数分别为p与q，则有?1?p?1，?1?q?1． 因此该试验的样本空间与二维平面点集
D???p,q?：?1?p?1,?1?q?1?
中的点一一对应．
随机事件A与二维平面点集DA??p,q?：p2?4q?0，即与点集
????p2DA???p,q?：?q?
4??中的点一一对应．
?p2????1dp???DA的面积?1?41?p3????? 所以， P?A??D的面积2?24?12?五．（本题满分8分）
一个工厂生产某种产品的寿命X（单位：年）的密度函数为
x?1?4?f?x???4e??01?13p??． ?24??11x?0 ． x?0该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望． 解：
设Y为工厂售出一个产品的净赢利，则
?100X?1 Y????300X?1所以，EY?100?P?Y?100??300?P?Y??300?
0P?X?1??30?0P?X?1? ?10?1?1? ?100??e4dx?300??e4dx
4140 ?100?e?141???4??300??1?e???11.5203 ????x1x第 3 页 共 10 页
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六．（本题满分9分）
设G是由X轴、Y轴及直线2x?y?2?0所围成的三角形区域，二维随机变量?X,Y?在G内服从均匀分布．求X与Y的相关系数?X, 解：
Y．
由于区域G的面积为1，因此?X,Y?的联合密度函数为
f?x,y????1?x,y??G?0?x,y??G??2?2x 当0?x?1时，fX?x??f?x,y?dy?????dy?2?1?x?，0所以，f?2?1?x?0?x?1X?x???．
?0其它y 当0?y?2时，fY?y???1???2x,y?dx???f??dy?1?y2， 0?所以，f???1?y0?y?2Y?y?．
?2?0其它??1 E?X??xf?x?dx?x?2?1?x?dx?2??1?1?1??X??0?23???3， ??2 E?Y????yfY?y?dy???y???1?y??dy?2， 0?2?3??1 E?X2???x2f?x?dx?211?1X???x?2?1?x?dx?2??0?3?4???6，
??2 E?Y2???y2f2Y?y?dy??????y?1?y?2?02??dy?3，
所以，var?X??E?X2???E?X??2?1?1?216???3???18，
2 va?rY??E?Y2???E?Y??2?23???2?2?3???9， 第 4 页 共 10 页
．
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???? E?XY??1??????2xyf?x,1y2y?dxdy??dx?xydy??x?200012?2x12?2xdx，
0?121?1 ?2?x?1?x?dx?2?x3?2x2?xdx?2?????，
?432?600??所以，cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??1121????． 63318 ?X,Y1cov?X,Y?18??1． ??2var?X?var?Y?12189?七．（本题满分9分）
某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间?20,100?上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴ 该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵ 用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的?760元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数
??x?的某些取值：
x ??x? 解：
1.55 0.9394 1.60 0.9452 1.65 0.9505 1.70 0.9554 ⑴ 设Xi表示第i位顾客的消费额，?i?1,2,?,400?．则有
X1,X2,?,X400相互独立，Xi~U?20,100?，?i?1,2,?,400?．
8021600?所以，E?Xi??60，var?Xi??． 123再设X表示餐厅每天的营业额，则X??Xi．
i?1400?400?400所以，E?X??E??Xi???E?Xi??400?60?24000 （元）．
?i?1?i?1 ⑵ 由独立同分布场合下的中心极限定理，有
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