2017年春国家开放大学“经济数学基础”任务4 参考答案
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一、填空题 1.函数f(x)?4?x?21_________内是单调减少的. 答案：(1,在区间__________2)?(2,4]
ln(x?1)2. 函数y?3(x?1)的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点. 答案：x?1,x?1，小
?p23.设某商品的需求函数为q(p)?10e，则需求弹性Ep? .答案：-p2
14.行列式D??11111?____________.答案：4
?1?1116??11??，
325. 设线性方程组AX?b，且A?0?1方程组有唯一解.答案：??1
??则t__________时，??00t?10??（二）单项选择题
1. 下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（ B ）．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x
1． ,则 f?f(x)??（ C ）
x11A． B．2 C．x D．x2
xx2. 设f(x)?
3. 下列积分计算正确的是（ A ）．
x?x1e?eex?e?xdx?0 B．?dx?0 A．??1?1221C．
?1-1xsinxdx?0 D．?(x2?x3)dx?0
-114. 设线性方程组Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．
A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n
?x1?x2?a1?5. 设线性方程组?x2?x3?a2，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．
?x?2x?x?a233?1A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0 C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0
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三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y??ex?y
解：
dy?exey dx?e?ydy??exdx ?e?y?ex?c
dyxex（2）?2
dx3y解：
2x3xxy?xe?e?c 3ydy?xedx??2. 求解下列一阶线性微分方程：
2y?x3 x2解：p(x)??,q(x)?x3
x（1）y??代入公式得
22dx???dx??3y=ex??xexdx?c??x2???x42 xdx?c??cx?2?（2）y??y?2xsin2x x解：
1p(x)??,q(x)?2xsin2x ，
x代入公式得y?e?xdx?1???2xsin2xe??xdx1?dx?c? ?elnx???2xsin2xe?dx?c
lnx?
1???x??2xsin2xdx?c??x?sin2xd2x?c?x(?cos2x?c)
x????3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y??e2x?y,y(0)?0
解：
dy?e2xe?y dx?01eydy??e2xdx，ey?e2x?c，
2?101e?c，C=， 221x1e? 22把y(0)?0代入e所以，特解为：ey?x(2)xy??y?e?0,y(1)?0
1ex解：y??y?，
xx1exp(x)?,q(x)?，
xx代入公式得y?e?x?xdx?e?xdx11??e?xx??1?ex?ex?c?lnx?elnx， dx?c??e??edx?c????xdx?c??xxxx?????把y(1)?0代入y所以特解为：y??1x(e?c)，C= -e , x1x(e?e) x4.求解下列线性方程组的一般解：
?2x3?x4?0?x1?（1）??x1?x2?3x3?2x4?0
?2x?x?5x?3x?0234?1解：
02?1?2?1??1?10?102?1????01?11???01?11?
A???11?32??????????2?15?3???0?11?1???0000??所以，方程的一般解为
?x1??2x3?x4（其中x3,x4是自由未知量） ??x2?x3?x4
?2x1?x2?x3?x4?1?（2）?x1?2x2?x3?4x4?2
?x?7x?4x?11x?5234?1解
：
11?4?2?11?12?142??12?1(2)?(1)?(?2)?(1),(2)?2?11??0?53?7(Ab)??12?14211????(3)?(1)?(?1)????7?17?4115???17?4115???05?316?10??12?142?5542??12?1??373?37?0?53?7?3??01?01???(2)?(?1)?(3)?(2)?(1)?(2)?(?2)?55555????000005?00000?0???000??164?x??x?x?34?1555（其中x,x是自由未知量）
?34373?x2?x3?x4?555?5.当?为何值时，线性方程组
2??3??3??4?5?3??5?0????x1?x2?5x3?4x4?2?2x?x?3x?x?1?1234 ?3x?2x?2x?3x?3234?1??7x1?5x2?9x3?10x4??有解，并求一般解。 解：
?1?2(Ab)???3??7?1?542?13?11?2?233?5?1(3)?(2)?(?1)??0(4)?(2)?(?2)0uuuuuuuuuuuuur???0
??1?1?5?(2)?(1)?(?2)?0113?(3)?(1)?(?3)???0113(4)?(1)?(?7)?r?0226?910??uuuuuuuuuuuuu??1?542??108?0113113?9?3?(1)?(2)???0000000?uuuuuuur??000??8??00042?9?3?9?3?18?5?900???????14?
?1??3??0????8?.当?=8有解,??x1??8x3?5x4?1?9x（其中?x??13xx3,x4是自由未知量）
234?36．a,b为何值时，方程组
??x1?x2?x3?1?x?1?x2?2x3?2 ?x1?3x2?ax3?b解：
?1?1?11?A???(2)?(1)?(?1)?1?1?11??1?1?11?22????13ab??(3)?(1)?(?1)?02?11??02??1??04a?1b??(3)?(2)?(?2)???00当a??3且b?3时，r(A)?r(A), 方程组无解； 当a??3时，r(A)?r(A)?3方程组有唯一解；
当a??3且b?3时，r(A)?r(A)?2?3方程组无穷多解。
四．经济应用问题
（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)?100?0.25q2?6q（万元）, 求：①当q?10时的总成本、平均成本和边际成本；
②当产量q为多少时，平均成本最小？ 解：
?11??11?a?3b?3???
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