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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第一章 高等数学
第一节 空间解析几何
【本节知识框架】
【历年考点一览表】
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说明：若上表中有重复题号，源于部分题目涉及多个考点。
一、空间直角坐标 1．空间直角坐标系
在空间取一定点O，和以O为原点的两两垂直的三个数轴，依次记作x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系。通常符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以
π角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正2rrrrrr向。并设i、j、k为x轴、y轴、z轴上的单位向量，又称Oxyz坐标系，或[O,i,j,k]坐
标系。
2．两点间的距离
在空间直角坐标系中，M1（x1，y1，z1）与M2（x2，y2，z2）之间的距离为：
d?
?x2?x1???y2?y1???z2?z1?222
3．空间有向直线方向的确定
设一条有向直线L，它与三个坐标轴正向的夹角分别为α、β、γ（0≤α，β，γ≤π），称为直线L的方向角；{cosα，cosβ，cosγ}称为直线L的方向余弦，三个方向余弦有以下关
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二、向量代数 1．向量的概念
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 系：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1。
向量是指空间具有一定长度和方向的线段。以A为起点，B为终点的向量记作AB，或
uuuvvvvv简记作a。向量a的大小记作|a|，又称向量a的模。模等于1的向量称为单位向量，模等
于零的向量称为零向量，记作0或0。零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。
rvvvvvvvvvvv两向量a和b若满足：①|a|?|b|，②a//b，③a,b指向同一侧，则称a?b。与a方
vuuvuuvav00向一致的单位向量a?v。若a??cos?,cos?,cos??，也即为a的方向余弦。
|a|
2．向量的运算 （1）两向量的和
vvvvvb为边的平行四边形的对角线（见图1-1-1）所表示的向量c称向量a与b的和，以a、vvv记作c?a?b
vvvvvvvn个向量a1,a2,L,an的和即为：b?a1?a2?L?an
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图1-1-1
www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 向量的加法符合交换律和结合律，即：
uuuruuuruuura?b?AB?BC?AC?c
uuuruuuruuurb?a?AD?DC?AC?c
（2）两向量的差
设a为一向量，与a的模相同，而方向相反的向量称为a的负向量，记作?a，规定两
vvvvvv个向量a与b的差为：
vvvva?b?a?(?b)
（3）向量与数的乘法
vv设λ是一个数，向量a与λ的乘积?a规定为：
①当λ＞0时，?a表示一个向量，它的方向与a的方向相同，它的模等于|a|的λ倍，
vvvvv即|?a|??|a|
vvv②当λ＝0时，?a是零向量，即?a?0
③当λ＜0时，?a表示一个向量，它的方向与a的方向相反，模等于|a|的|λ|倍，即
vvvvv|?a|?|?||a|
（4）两向量的数量积
两向量的数量积为一数量，表示为：
?vvvva?b?|a||b|cos(a,b)
（5）两向量的向量积
vvv两向量的向量积为一向量，记作a?b?c
①
vvvv?v|c|?|a||b|sin(a,b)
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 vvvvvvvvb为边作出的平行四边形的面积；②c?a，c?b；③c的正|c|的几何意义为以a、vvv向按右手规则四个手指从a以不超过π的角度转向b，则大拇指的指向即为c的方向。
（6）三个向量的混合积
vvvvvvvvvvvvbc的混合积，记作[abc]，|(a?b)?c|的几何意义表示以(a?b)?c称为向量a、、vvvvvvvvva、、bc为棱的平行六面体的体积。可推出，当向量a、、bc共面时，混合积[abc]?0，即
vvv(a?b)?c?0
【典型例题】设向量α与向量β的夹角θ＝π/3，|α|＝1，|β|＝2，则|α＋β|等于（ ）。[2018年真题]
A．B．C．D．
8 7
6 5
【答案】B 【解析】计算得
?????????22??2?2????22???2??cos????1?2?1?2?cos?7
2?3?22
vvb为向量，λ、μ为数量）3．向量运算的性质（a、（见表1-1-1）
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