xy?ae?xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ ） 1. 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线
A．a?e，b??1 B．a=e，b=1 C．a?e?1，b?1 D．a?e?1，b??1
【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考
x题型.∵y??ae?lnx?1,∴切线的斜率k?y?|x?1?ae?1?2，?a?e?1，
将(1,1)代入y?2x?b，得2?b?1,b??1.故选D． 【答案】D
2.已知过点A?a,0?作曲线C:y?x?ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ） A．???,?4??0,??? B．?0,??? C．???,?1??1,??? D．???,?1?
xx【解析】设切点为x0,x0e0，y???x?1?e，∴y???x?x0?x0?1?ex0，
xxxx则切线方程为：y?x0e0=?x0?1??e0?x?x0?，切线过点A?a,0?代入得：?x0e0=?x0?1??e0?a?x0?，∴
x02a?，即方程x02?ax0?a?0有两个解，则有??a2?4a?0?a?0或a??4．故选A．
x0?1【答案】A
3.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为（ ）
A．x?y???1?0 C．2x?y?2??1?0 【解析】
B．2x?y?2??1?0 D．x?y???1?0
x?πy??2cosx?sinx,?y??2cosπ?sinπ??2,
则y?2sinx?cosx在点(?,?1)处的切线方程为y?(?1)??2(x??)，即2x?y?2??1?0．故选C． 【答案】C
?x2?2ax?2a,x1,4.【2019天津理8】已知a?R，设函数f(x)??若关于x的不等式f(x)0在R上
x?1,?x?alnx,恒成立，则a的取值范围为（ ）
A.?0,1? B.?0,2? C.?0,e? D.?1,e?
1
x2【解析】当x?1时，f(1)?1?2a?2a?1?0恒成立；当x?1时，f(x)?x?2ax?2a?0?2a?x?12x2(1?x?1)2(1?x)2?2(1?x)?1x2 恒成立，令g(x)?，则g(x)??????1?x1?x1?xx?1??11?????1?x??2????2(1?x)??2?0， ???1?x1?x????当1?x?1，即x?0时取等号，∴2a?g(x)max?0，则a?0. 1?x当x?1时，f(x)?x?alnx?0，即a?lnx?1xx?h(x)?恒成立，令h(x)?，则， (lnx)2lnxlnx当x?e时，h?(x)?0，函数h(x)单调递增，当0?x?e时，h?(x)?0，函数h(x)单调递减， 则x?e时，h(x)取得最小值h(e)?e，∴a?h(x)min?e，综上可知，a的取值范围是[0,e]. 【答案】C
5.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y?x?线x?y?0的距离的最小值是 . 【解析】由y?x?4(x?0)上的一个动点，则点P到直x444(x?0)，得y??1?2，设斜率为?1的直线与曲线y?x?(x?0)切于xxx(x0,x0?44)，由1?2??1得x0?2（x0??2舍去），
x0x0∴曲线y?x?故答案为4． 【答案】4
4(x?0)上，点P(2,32)到直线x?y?0的距离最小，最小值为x2?321?122?4.
6.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
2
【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点A?x0,y0?，则y0?lnx0.又y??11，当x?x0时，y??，
xx01x(x?x0)，即y?lnx0??1， x0x0则曲线y?lnx在点A处的切线为y?y0?将点??e,?1?代入，得?1?lnx0??e?1，即x0lnx0?e， x0 考察函数H?x??xlnx，当x??0,1?时，H?x??0，当x??1,???时，H?x??0，且H??x??lnx?1，当x?1时，H??x??0,H?x?单调递增，注意到H?e??e，故x0lnx0?e存在唯一的实数根x0?e， 此时y0?1，故点A的坐标为?e,1?. 【答案】(e, 1)
7.【2018年高考江苏】若函数
上的最大值与最小值的和为________． 【解析】由f??x??6x?2ax?0得x?0或x?2在内有且只有一个零点，则在
a，因为函数f?x?在?0,???上有且仅有一个零点且32af?0?=1，所以?0,3?a??a??a?f???0因此2???a???1?0,解得a?3. ?3??3??3?3从而函数f?x?在?1,0上单调递增，在0,1上单调递减，所以f?x?max?f?0?,
????f?x?min?min?f??1?,f?1???f??1?，则f?x?max?f?x?min?f?0?+f??1??1?4??3.
故答案为?3. 【答案】–3
8.【2019全国Ⅲ理20】已知函数f(x)?2x3?ax2?b. （1）讨论f(x)的单调性； （2）是否存在
a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为?1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；
3
若不存在，说明理由.
2【解析】（1）f?(x)?6x?2ax?2x(3x?a).令f?(x)?0，得x=0或x?a. 3若a>0，则当x?(??,0)?a??a??,??x?f(x)?0时，；当???0,?时，f?(x)?0．故f(x)在
?3??3??a??a?
(??,0),?,???单调递增，在?0,?单调递减；若a=0，f(x)在(??,??)单调递增；
?3??3?
若a<0，则当x????,??a??a??(0,??)x?f(x)?0时，；当??,0?时，f?(x)?0．故f(x)在
3??3?a???a???,,(0,??)单调递增，在???,0?单调递减.
3???3?
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，l]的最小值为f(0)=b，最大值为f(1)?2?a?b.此时a，b满足题设条件当且仅当b??1，2?a?b?1，即a=0，b??1．
（ii）当a≥3时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b，最小值为f(1)?2?a?b．此时a，b满足题设条件当且仅当2?a?b??1，b=1，即a=4，b=1．
a3?a??b，最大值为b或2?a?b． （iii）当0 27a3若??b??1，2?a?b?1，则a?33或a??33或a=0，与0 27综上，当且仅当a=0，b??1或a=4，b=1时，f(x)在[0，1]的最小值为–1，最大值为1． 9.【2019浙江22】已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?（1）当a??x?1,x?0. 3时，求函数f(x)的单调区间； 4 4 （2）对任意x?[1e2,??)均有f(x)?x2a, 求a的取值范围.注：e=2.71828…为自然对数的底数. 【解析】（Ⅰ）当a??34时，f(x)??34lnx?1?x,x?0． f'(x)??31(1?x?2)(21?x?1)4x?21?x?4x1?x， 所以，函数f(x)的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+?）． （Ⅱ）由f(1)?122a，得0?a?4． 当0?a?2x21?4时，f(x)?xx2a等价于a2?a?2lnx?0． 令t?1a，则t?22．设g(t)?t2x?2t1?x?2lnx,t?22 ， 则g(t)?g(22)?8x?421?x?2lnx． （i）当x?1??1,?????7? 时，1?x?22，则g(t)?g(22)?8x?421?x?2lnx． 记p(x)?4x?221?x?lnx,x?17，则p'(x)?2212xx?1?2x?x?1x?x?1?x?xx?1. 故 x 17 (17,1) 1 (1,??) p'(x) ? 0 + p(x) p(17) 单调递减 极小值p(1) 单调递增 所以，p(x)?p(1)?0 ．因此，g(t)?g(22)?2p(x)?0． （ii）当x??11???1??2xlnx?(x?1)?e2,7??时，g(t)g??1??x???． ?2x 5
导数高考题（解析版）
