百度文库 - 让每个人平等地提升自我
第四章 整式的乘除
高频考点 1．幂的有关运算 2．整式的乘法 3．乘法公式(平方差公式、完全平方公式) 4．整式的除法 5．因式分解 6．整式的混合运算 知能图谱
考查频率 ★★ ★ ★★★ ★ ★★★ ★★ 所占分值 3～9分 1
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
同底数幂的乘法 字母表示：a?a?a幂的乘方 字母表示：ammnm?n(m，n都是正整数)
??n?amn(m，n都是正整数)
nn积的乘方 字母表示：?ab??ab(n是正整数)
幂的运算 同底数幂的除法 字母表示：a?a?a正整数，并且m?n)
零指数幂 字母表示：a0?1?a?0? 负整数指数幂 字母表示：a?pnmnm?n(a?0，m，n都是
?1(a?0，p为正整数) ap整式的乘除整式的乘法单项式乘单项式：单项式与单项式相系，把它们的系数、同底数幂别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为的一个因式
单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再 把所得的积相加
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
多项式乘 每—项，再把所得的积相加 多项式
乘法公式 完全平方公式 平方差公式：?a?b??a?b??a2?b2
?a?b??a?b?2?a2?2ab?b2 ?a2?2ab?b2 ?2联系?a?b??a?b单项式除以单项式 整式的混合运算 转化 整式的除法
多项式除以单项式 因式分解的意义 整式乘法
?2??4ab
提公因式法
22逆用平方差公式?a?b??a?b??a?b??
因式分解的方法公式法?2 22??逆用完全平方公式a?2ab?b??a?b??????
分组分解法(拓展)
因式分解
因式分解的步骤 一般步骤：一提、二套、三分组、四彻底
利用因式分解解决相关问题
第7讲 幂的运算性质
知识能力解读
知能解读 (一)同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a?a?a都是正整数)． 2
mnm?n(m，n百度文库 - 让每个人平等地提升自我
注意：(1)在学习同底数幂的乘法过程中，不仅要记住结论?更重要的是掌握结论的推导过程．
(2)这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如a?a?a?an，p都是正整数)．
mnpm?n?p(m，
?am?an(m，n都是正整数)．
21?23(4)幂的底数a可以是单项式，也可以是多项式，如a?a?a?a，
(3)运算性质可以逆用，如am?n?x?y???y?x?32??x?y?．
34335(5)当幂指数为l时，不要误以为指数为0，如a?a?a，而不是a?a?a． (二)幂的乘方
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即am??n ?amn(m，n都是正整数)．
注意：(1)不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算，是转化为指数的乘
法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．
(2)根据同底数幂的运算性质可推出结论：
?a?mnm?m?????m?a??a?n个ammm?a?amn个m?am
nnm(3)此性质可以逆用：amn?am????a?，如315?35????3?．
335(三)积的乘方
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即
?ab?n?anbn(n是正整数)．
n注意：(1)同理，三个或三个以上的因数(或因式)的积的乘方，也具备这一性质，如
?abc??an?bncn(n为正整数)．
?9??9?nn2(2)此性质可以逆用：a?b??ab?，如???4???4??81．
?4??4?(3)积的乘方公式中，a，b可以表示数，也可以表示含有字母的代数式．
n22(四)同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a?a?a(a?0，m，n都是正整数，并月m?n)．
注意：(1)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如
mnm?nam?an?ap?am?n?p(a?0，m，n，p都是正整数，且m?n?p)．
(2)底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了．
33?12(3)注意指数为“1”的情况，如a?a?a?a，不能把a的指数当成“0”．
m?n?am?an(a?0，m，n都是正整数，且m?n)． (4)该法则可以逆用，即a(五)零指数幂与负整数指数幂
(1)零指数幂的意义：任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0?1?a?0?． (2)负整数指数幂的意义：任何不等于零的数的?n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即a1(a?0 ，n为正整数)． namnm?n在a?a?a中，当m?n时，规定am?an?a0?1?a?0?．
?n?当m?n时，规定a?a?a0mn??n?m??1an?m，如10?10?10373?7?10?4?1． 410(3)零指数幂与负整数指数幂的注意事项：
①在a?1中，底数a不等于零，否则无意义．底数a 可以是不等于0的数或式子． 3
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
②学习零指数幂和负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到了整数指数幂． 如：a?a等．
方法技巧归纳 方法技巧 (一)同底数幂的乘法、除法运算解题技巧
同底数幂的运算法则，无论是乘法法则，还是除法法则，只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化为同底，若不能化为同底，则不能用上述法则． (二)幂的乘方、积的乘方运算解题技巧
运用幂的乘方时，一定要注意底数的符号；在进行积的乘方运算时，应把底数的各因式分别乘方，不要忽略任何一项．幂的乘方和积的乘方法则均可逆用． (三)零指数幂和负整数指数幂的解题技巧
(四)利用幂的运算性质比较数的大小的解题技巧(拓展)
当所给幂的指数、底数均不相同，且指数较大时，可利用幂的乘方性质化为同指数幂，根据底数大小关系确定原来三个幂的大小关系．
比较几个幂的大小时，可以将它们逆用幂的乘方法则，化成同底数或同指数的幂再比较大小．
易混易错辨析
易混易错知识
1．同底数幂的乘法法则与合并同类项法则容易混淆．
2?3?a2???3??a?1??41?2a3?a?4?a3???4??a7；a?3??a12；?ab??a?2b?2；?a?a9；而合并同类项的法
则是只把系数相加，字母和字母的指数都不变，如a3?a3?a3??1?1?1?a3?3a3．此处
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，如a?a?a?a3333?3?393333?3?3?a的错误．故解题时，应认真审题，看清题目是什么运算，然易犯a?a?a?a后准确选用法则．
2．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则容易混淆． 幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)，同底数幂的乘法运算是转化为指数
的加法运算(底数不变)．在运算时，特别注意二者的区别，如x2方，再乘法，不要出现类似x??3?x4的运算顺序为先乘
??23?x2?3?x5的错误．
易混易错 (一)在运用积的乘方法则时，没有把每个因式分别乘方，忽略某些因式的乘方，或符号山错
(二)对同底数幂的除法法则理解不透导致出错
(三)忽略零指数幂和负整数指数幂底数不为0的条件
中考试题研究
中考命题规律
本讲的考点主要有同底数幂的乘除法，积的乘方和幂的乘方运算以及零指数幂和负整数指数幂的运算，题型以选择题、填空题为主，也有简单的解答题． 中考试题 (一)同底数幂的乘法 (二)幂的乘方和积的乘方 (三)零指数幂和负整数指数幂 (四)幂的综合运算
第8讲 整式的乘法 知识能力解读
知能解读 (一)单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
如：5xy32??3xyz????5???3????x?x???y?y?z2322??15x4y3z2．
注意：(1)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用． 4
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
(2)由法则可知，在用法则解题时，可按三步进行：①系数相乘——确定积的系数，相乘时注意符号；②相同字母的幂相乘——底数不变，指数相加；③只在一个单项式里含有的字母——连同字母的指数写在积中，不要漏掉这个因式．
记忆口诀：系数乘系数，字母乘字母． (二)单项式与多项式相乘的法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
m?a?b?c??ma?mb?mc．
注意：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．
(2)单项式乘多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．
(3)计算时注意符号，多项式中的每一项都包括它前面的符号，根据这一特点确定乘积中每一项的符号．
(4)运算结果中有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果． (三)多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn即．
(1)要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，不要漏乘项．
(2)注意多项式中的符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，计算时要细心． (四)乘法公式
1．平方差公式
(1)公式：?a?b??a?b??a2?b2．
(2)意义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫作平方差公式．
记忆口诀：和乘差，平方差． (3)特征：
①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数； ②右边是左边二项式中两项的平方差(相同项的平方减相反项的平方)； ③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式．
(4)公式的几何背景：如图所示，最上层的矩形ABCD的面积为?a?b??a?b?，它等于大正方形AGHE的面积a与小正方形MNHF的面积b的差，即?a?b??a?b??a2?b2．
AED22aBbGaNMFHbbC2．完全平方公式
(1)公式：?a?b??a?2ab?b；?a?b??a?2ab?b．
222222
(2)意义：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍． (3)特征：
①左边是—个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项5
山西省太原市中考数学知识点聚焦第四章整式的乘除
