经济应用数学习题
第一章 极限和连续 填空题
1. limsinx?x??x0 ；
2.函数 y?lnx是由 y?u，u?lnv，v?x复合而成的； 3当 x?0 时，1?cosx 是比 x 高 阶的无穷小量。 4. 当 x?0 时， 若 sin2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a?
2lim(1?)x?x??x选择题
5.
2
e?2
2x? （ C ）
x?05arcsinx1.lim（A） 0 （B）不存在 （C）
2 （D）1
5
2.f(x) 在点 x?x0 处有定义，是 f(x)在 x?x0处连续的（ A ）
（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件
计算题
1.
cosx?1
x?02x2cosx?1?sinx1解：lim＝ lim??x?0x?02x24x4求极限 lim1411?xxx?x(?4)?e4 2. lim(1?)＝lim(1?)x?0x?044exex?1?lim??1 3.lim2x?02x?1x?0x?x
导数和微分 填空题
u(x)u'(x)v(x)?u(x)v'(x)]? =1若 u(x) 与 v(x) 在 x 处可导，则 [ 2v(x)[v(x)]2.设f(x)在x0处可导，且f?(x0)?A，则limh?0f(x0?2h)?f(x0?3h)用A的
h代数式表示为
25A ；
f(1?2x)?f(1)= ?4e 。
x23f(x)?ex，则limx?0解 f'(x)?2xex,limx?0f(1?2x)?f(1)??2f'(1)??4ex
选择题
1. 设 f(x) 在点 x0 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A） lim（C） limf(x)?f(x0)f(x)?f(x0) 存在 （B） lim不存在
x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0?f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)存在 （D） lim不存在
?x?0x?xx?02. 设f(x)在x0处可导，且limx1?，则f?(x0)等于
f(x0?2x)?f(x0)4（ D ）
（A） 4 （B） –4 （C） 2 （D） –2 3. 3设 y?f(x) 可导，则 f(x?2h)?f(x) = （ B ）
（A） f?(x)h?o(h) （B） ?2f?(x)h?o(h) （C） ?f?(x)h?o(h) （D） 2f?(x)h?o(h) 4.
f(x)f(x) 存在，则 lim 等于（ B ）
x?0x?0xx1（A）f?(x) （B）f?(0) （C）f(0) （D）f?(0)
2设 f(0)?0 ，且 lim5.
函数 y?ef(x)，则 y\? （ D ）
（A） ef(x) （B） ef(x)f\(x)
（C） ef(x)[f'(x)]2 （D） ef(x){[f'(x)]2?f\(x)}
6函数 f(x)?(x?1)x的导数为（ D ）
（A）x(x?1)x （B） (x?1)x?1 （C）xxlnx （D） (x?1)x[x?ln(x?1)] x?17函数 f(x)?xx 在 x?0 处（ D ）
（A）连续但不可导 （B） 连续且可导
（C）极限存在但不连续 （D） 不连续也不可导
计算与应用题
1. 设 y?ln(xy) 确定 y 是 x 的函数，求 解： y'?[ln(xy)]'?11(xy)'?(y?xy') xyxyy'?y
x(y?1)dy dx xy?y'?y?xy'2. 2设 ey?ylnx 确定 y 是 x 的函数，求 解：ey?y'?y'?lnx?yxdyy? dxx(ey?lnx)dy dx3. 3求 y?e1?3xcosx 的微分
解：dy?y'dx?(?3e1?3xcosx?e1?3xsinx)dx??e1?3x(3cosx?sinx)dx
e2x4. 4求 y? 的微分；
x2e2xx?e2xe2x(2x?1)e2x(2x?1)?dx 解：y? dy?x2x2x2'?sinx?eax?1x?0?5设f(x)?? 在(??,??)上连续，求a的值。 x?2ax?0?sinx?eax?1 limf(x)?limx?0x?0x ?lim(cosx?ae)…………………………2分
x?0ax ?1?a………………………………………2分
又
f(x)在(??,??)上连续，即limf(x)?f(0)?2a…………2分
x?0 ?2a?1?a
?a?1……………………………………………………1分
1?1?x?x??,x?0????1?x??,x?0 （其中k?0) 6设f(x)??a?sinkx?,x?0x??(1) 求f(x)在点x?0的左、右极限；(2) 当a和k取何值时，f(x)在点x?0连续。
（1）limf(x)?lim??x?0x?0sinkx?k …………………2分 x1x1x1?x(1?x)e?1?2f(x)?lim()?lim??e lim……2分 1x?0?x?0?1?xx?0?e(1?x)x （
x?0?2）
x?0因为
f(x)在
x?0处连续，满足
limf(x)?limf(x)?f(0)…………2分 ??2 所以k?a?e ……………………1分
导数的应用 填空题
1. 设需求函数 Q?p(8?3P) ，P为价格，则需求弹性值
EQEP?
P?2?2
2. 函数 y?x3?3x 的单调递减区间是 （－1，1） 二．选择题
1.函数 y?sinx 在区间 [0, π]上满足罗尔定理的 ξ = （ C ）
（A） 0 （B）
?? （C） （D）? 422. 函数 y?f(x) 在点 x?x0 处取得极大值，则必有（ D ）
（A） f?(x0)?0 （B） f??(x0)?0 （C） f?(x0)?0 且 f??(x0)?0 （D） f?(x0)?0 或不存在
应用题
1已知某商品的需求函数为x =125-5p，成本函数为C(x)=100 + x + x2,若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2) 最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。
解（）1L(x)?R(x)?C(x)?px?100?x?x2? ??1.2x2?24x?100 L'(x)??2.4x?24?0?x?10 L\x)??2.4?0,驻点唯一?当x?10时，利润最大。（2）?＝x'px'?,当x?10时,p?23,则?xxx?10＝125?x?x?100?x?x25
23?(?5)??11.510
2.某工厂生产某种产品 吨，所需要的成本 C(x)?5x?200 （万元）,将其投放市场后，所得到的总收入为 R(x)?10x?0.01x2 （万元）。问该产品生产多少吨时，所获得利润最大， 最大利润是多少？ 解：L(x)?R(x)?C(x)=?0.01x2?5x?200，L'(x)??0.02x?5
令L'(x)?0 得 x?250
L\(x)??0.02?0 ?L\(250)?0
?该产品生产250吨时所获利润最大，最大利润是 L(250)?425（万元）
Q，成本函数为 C?20?2Q ，求产量5为多少时利润最大？并验证是否符合最大利润原则。
3.已知某产品的需求函数为P?10?Q2?20?2Q 解：L(Q)?R(Q)?C(Q)?P?Q?C(Q)?10Q?52L'(Q)??Q?8，令 L'(Q)?0 得 Q?20
5
经济应用数学习题及答案
