于点 F．K 是线段 AD 上的一个动点(与点 A，D 不重合)，过点 K 作 GN⊥AP 于点H，交 AB 于点 G，交 AC 于点 M，交 FD 的延长线于点 N.
（1）依题意补全图1; （2）求证：NM=NF；
（3）若AM=CP，用等式表示线段 AE，GN 与 BN 之间的数量关系，并证明. 【答案】
（1）补全图形，如图 1.
AGHMKEFDNPCQ图1
（2）见解析；
（3）BN=AE+ GN，过程见解析. 【解析】
（1）补全图形，如图 1.
AGHMKEFDNPCQ图1
（2）证明：∵ CQ=CP，∠ACB = 90°， ∴ AP=AQ．
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∴ ∠APQ =∠Q． ∵ BD⊥AQ，
∴ ∠QBD+∠Q=∠QBD +∠BFC = 90°． ∴ ∠Q =∠BFC． ∵ ∠MFN =∠BFC， ∴ ∠MFN =∠Q．
同理，∠NMF =∠APQ．
∴ ∠MFN =∠FMN． ∴ NM =NF． （3）BN=AE+ GN； 证：连接CE，如图 2．
AGHMKEFDNBPCQ图2
由（1）可得 ∠PAC =∠FBC，
∵ ∠ACB=90°，AC =BC， ∴ △APC≌△BFC． ∴ CP =CF． ∵ AM=CP， ∴ AM =CF．
∵ ∠CAB=∠CBA =45°．
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∴ ∠EAB =∠EBA． ∴ AE =BE．
又 ∵ AC =BC，
∴ CE所在直线是AB的垂直平分线． ∴ ∠ECB =∠ECA =45°． ∴ ∠GAM =∠ECF=45°．
由（1）可得∠AMG =∠CFE，
∴ △AGM≌△CEF． ∴ GM=EF．
∵ BN=BE + EF + FN=AE +GM+ MN． ∴ BN=AE+ GN．
28．对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 W1和图形W2．给出如下定义：在图形 W1上
存在两点 A，B（点 A，B 可以重合），在图形 W2上存在两点M，N（点 M 于点 N可以重合） 使得AM=2BN，则称图形 W1和图形 W2满足限距关系．
（1）如图 1，点 C(1，0)，D(? 1，0)，E(0，3 )，点 P 在线段 DE 上运动(点
P 可以与点 D， E 重合)，连接 OP，CP.
①线段 OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段 CP 的取值范围_____; ②在点 O，点 C 中，点____________与线段 DE 满足限距关系；
（2）如图 2，e O 的半径为 1，直线 y =3 x + b (b>0)与 x 轴、 y 轴分别交于点
F，G．若线段 FG 与eO 满足限距关系，求 b 的取值范围；
（3）e O 的半径为 r(r>0)，点 H，K 是e O 上的两个点，分别以 H，K 为圆心，1
为半径作圆得到eH 和eK，若对于任意点 H，K，eH 和eK 都满足限距关系，直接写出 r的取值范围.
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【答案】 （1）①
3 ，3；3≤CP≤2；② O； 21（2）b≥；
3（3）0＜r≤3． 【解析】
3（1）① ，3；3≤CP≤2；② O．
2（2）直线y=3x+b与 x 轴、y 轴分别交于点F，G（0，b），
当0＜b＜1时，线段FG在⊙O的内部，与⊙O无公共点， 此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b ．
∵ 线段FG与⊙O满足限距关系， ∴ 1+ b≥ 2(1-b) ．
1解得 b≥．
31 ∴ b 的取值范围是≤b＜1．
3
当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙ O满足限距关系.
当 b＞2 时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O无公共点，
1此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为b?1，最大距离为b+1.
2 ∵ 线段FG与⊙O满足限距关系，
1 ∴ b+1≥ 2(b?1)
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1而b+1≥ 2(b?1)总成立．
2 ∴ 当b＞2时，线段FG与⊙O 满足限距关系．
1综上，b 的取值范围是 b≥．
3（3）0＜r≤3．
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2020西城一模数学试题答案逐题解析
