抽象函数经典综合题例含详细解答

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）

抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）

1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x)>1，求x的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴f(?x)?1 f(x)2

2

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴f(x)?1?0又x=0时，f(0)=1>0 f(?x)∴对任意x∈R，f(x)>0

(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴

f(x2)?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x1)?1 f(x1) ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数

（4）f(x)·f(2x-x)=f[x+(2x-x)]=f(-x+3x)又1=f(0)， f(x)在R上递增

∴由f(3x-x)>f(0)得：3x-x>0 ∴ 0

2

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2

f(x),g(x)在R上有定义，对任意的x,y?R有

f(x?y)?f(x)g(y)?g(x)f(y) 且f(1)?0

（1）求证：f(x)为奇函数

（2）若f(1)?f(2)， 求g(1)?g(?1)的值

解（1）对x?R，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)

（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0

∴g(-1)+g(1)=1

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3.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x?y)?f(x)?f(y)且当x＞0，

f(x)?0.又f(1)??2.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x的不等式f(ax2)?2f(x)?f(ax)?4.

解（1）取x?y?0,则f(0?0)?2f(0)取y??x,则f(x?x)?f(x)?f(?x)

?f(0)?0

?f(?x)??f(x)对任意x?R恒成立 ∴f(x)为奇函数. （2）任取x1,x2?(??,??)且x1?x2， 则x2?x1?0

?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x1)?0

?f(x2)??f(?x1), 又f(x)为奇函数 ?f(x1)?f(x2) ∴f(x)在（－∞，+∞）上是减函数. ?对任意x?[?3,3]，恒有f(x)?f(?3)

而f(3)?f(2?1)?f(2)?f(1)?3f(1)??2?3??6 ?f(?3)??f(3)?6∴f(x)在[－3，3]上的最大值为6

（3）∵f(x)为奇函数，∴整理原式得 f(ax)?f(?2x)?f(ax)?f(?2)

进一步可得f(ax?2x)?f(ax?2)

2而f(x)在（－∞，+∞）上是减函数，?ax?2x?ax?2

22?(ax?2)(x?1)?0.

?当a?0时，x?(??,1)

当a?2时，x?{x|x?1且x?R}

2当a?0时，x?{x|?x?1}

a当0?a?2时, x?{x|x?当a>2时，x?{x|x?

4.已知f(x)在(－1，1)上有定义，f(

2或x?1} a2或x?1} ax?y1)＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f() 21?xy⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x1＝

2xn1，xn＋1＝，求f(xn); 221?xn⑶求证

1112n?5 ??????f(x)f(x)f(x)n?212n(Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0

令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0 ∴f(x)＋f(－x)＝0 ∴f(－x)＝－f(x)

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∴f(x)为奇函数 (Ⅱ)解：f(x1)＝f(

2xnxn?xn1)＝－1，f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn) 221?x?x1?xnnn∴

f(xn?1)＝2即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列

f(xn)－

∴f(xn)＝－2n1 (Ⅲ)解：

111111 ?????(1?????)2n?1f(x)f(x)f(x)22212n11?n11 ??2??(2?n)??2???2?1n?11221?22n?511而? ??(2?)??2???2n?2n?2n?2∴

5.已知函数y?f(x),x?N,f(x)?N，满足：对任意x1,x2?N,x1?x2,都有

1112n?5 ??????f(x)f(x)f(x)n?212nx1f(x1)?x2f(x2)?x1f(x2)?x2f(x1)；

（1）试证明：f(x)为N上的单调增函数； （2）?n?N，且f(0)?1，求证：f(n)?n?1；

m,n?N,有f(n?f(m))?f(n)?1，（3）若f(0)?1，对任意证明：

?i?1n11?. i4f(3?1)2*证明：（1）由①知，对任意a,b?N,a?b，都有(a?b)(f(a)?f(b))?0，

由于a?b?0，从而f(a)?f(b)，所以函数f(x)为N*上的单调增函数. （2）由（1）可知?n?N都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)?f(n)+1 ?f(n+1)-f(n)?1, ?f(n)-f(n-1)?1 ??? ? f(2)-f(1)?1

?f(1)-f(0)?1由此可得f(n)-f(0)?n ?f(n)?n+1命题得证

m,n?N,有f(n?f(m))?f(n)?1 （3）（3）由任意

得f(m)?1 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1

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