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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(重点)
2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.(难点) 3.两个向量的夹角与两条直线所成的角.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 平面向量基本定理
阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题.
1.定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( ) (2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.( )
(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.( ) (4)基底向量可以是零向量.( )
【解析】 (1)错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.
(2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示. (3)错误.当e1与e2共线时，结论不一定成立. (4)基底向量是不共线的，一定是非零向量.
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【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)× 教材整理2 两向量的夹角与垂直
阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题.
→→
1.夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图2-3-1所示).
图2-3-1
(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°. (2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是90°， 我们说a与b垂直，记作a⊥b.
→→→→如图2-3-2，在△ABC中，AC，AB的夹角与CA，AB的夹角的关系为________.
图2-3-2
→→→→
【解析】 根据向量夹角定义可知向量AB，AC的夹角为∠BAC，而向量CA，AB夹角为π－∠BAC.故二者互补.
【答案】 互补
[小组合作型]
用基底表示向量
→→→
(1)已知AD是△ABC的BC边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AD＝( )
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1
A.(a－b) 2
1
C.－(a＋b)
2
1
B.－(a－b)
21
D.(a＋b) 2
→→→
(2)如图2-3-3，设点P，Q是线段AB的三等分点，若OA＝a，OB＝b，则OP＝________，→
OQ＝________.(用a，b表示)
图2-3-3
【精彩点拨】 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.
【自主解答】 (1)如图所示，
→→→→因为AE＝AB＋AC＝2AD， →1
所以AD＝(a＋b).
2
→→→1→→(2)OP＝AP－AO＝AB＋OA
31→→→＝(OB－OA)＋OA 32→1→21＝OA＋OB＝a＋b， 3333
→→→2→→2→→→OQ＝AQ－AO＝AB＋OA＝(OB－OA)＋OA
331→2→12
＝OA＋OB＝a＋b. 3333
2112【答案】 (1)D (2)a＋b a＋b
3333
平面向量基本定理的作用以及注意点：
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人教版高中数学必修4讲义 2.3 平面向量基本定理
