第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来
xxAA，记中，称表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素属于在集合
+
xx??AAxNZQABQ分别表示自然数集、，否则称。例如，通常用不属于，，记作，，为，?来表示。
集整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例 {xx?0}分别表示有理数集和正实数集。， 如{有理数}ABAB中的元素，则2 子集：对于两个集合，如果集合与中的任何一个元素都是集合定义A?BN?ZAABB的子叫做。规定空集是任何集合的子集，如果的子集，记为，例如是BAABABBA，则相等。如果集，的子集，而且也是是的子集，则称中存在元素不属于与AB的真子集。 叫 A?B?{xx?A
且x?B}. 3 交集，定义 A?B?{xx?A
或x?B}. 4 并集，定义 A?I,则CA?{xx?I,且x?A}AI中的补集。在称为定义5 补集，
若1 A\\B?{xx?A,且定义7
x?B}。差集，6 定义 {xa?x?b,x?R,a?b}(a,b)，集合集合记作开区间
{xa?x?b,x?R,a?b}[a,b](??,??). 记作，R记作闭区间ABC，有：，， 定理1 集合的性质：对任
意集合A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)； 2 （）（1）
CA?CB?C(A?B);CA?CB?C(A?B). （4）（3） 111111【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读
者自己完成。
x?A?(B?C)x?(A?B)x?(A?C)C??Bxx?Ax，或）若1或，且，所以，则
（x?(A?B)?(A?C)x?(A?B)?(A?C)x?(A?B)x?(A?C)，或；反之，即，则
x?(B?C)x?A?(B?C).A?Cx?xx?A?Bx 即，即或且且，即
xCACB?x?CBx?(A?B)BAx?x?AC?x?，或若，，所以或所以3（）则，
1111
x?C(A?B)CA?CB?C(A?B)Ix?，反之也有，即又，所以1111C(A?B)?CA?CB. 111mn种
不同的方法，第二类办法中类办法，第一类办法中有定理2 加法原理：做一件事有1mmn种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法，…，第类办法中有有n2N?m?m???m种不同的方法。 n21mmn种不同的种不同的方法，做一件事分个步骤，第一步有第二步有定理3 乘法原理：21mN?m?m???mn种不同的种不同的方法，那么完成这件事一共有方法，…，第步有nn12方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
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}?,,??a?M{axyxyZ ，求证：设1 例
2k?1?M,(k?Z)；（1） 4k?2?M,(k?Z)； 2）（p?M,q?Mpq?M. ，则3）若（
A?BB?AAB。，则，再证 =2．利用子集的定义证明集合相等，先证AB是两个集合，又设集合M，
满足例2 设
A?M?B?M?A?B,A?B?M?A?BAB表示）（用，，求集合。 M
3．分类讨论思想的应用。
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}?0xx?mx?20x{x?ax?a?1?},C?{B2??A{xx3x??0},?，若3 例a,m.C,A?C?A?B?A ，
求
4．计数原理的应用。
A?B?IICAB，求有）若的子集，，，67，89，0}（1，，，，，4 例集合，，是={12345ABI的非空真
子集的个数。 2）的个数；（）求序集合对（，
5．配对方法。
A,A,,A}?,n,I?{1,23,k?个子集：的例5 给定集合，满足任何两个子集的交集非空，k12kI的值。
的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求并且再添加
6．竞赛常用方法与例问题。
A?B?A?B?A?AB,A 表示集合容斥原理；用定理4 的元素个数，则
A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C 需要xy此
结论可以，n 个集合的情况，即推广到 nnn
?
???
??
1n?
.A1A)A??AAA?A?(A??????
A?A??(1?i,j?n,i?j)I??A?AA??，则这定义，且8 集合的划分：若n12jinI-
iikiiijjnkj???i1i?ji1??1i?1i?
划分。的一个 些子集的全集叫定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
n(n?1)m?11mn?个个抽屉，必有一个抽屉放有不少于6 定理抽屉原理：将个元素放入mn个
抽屉必有一个抽屉放个元素；将无穷多个元素放入元素，也必有一个抽屉放有不多于有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？
a,a,,a)2n(n??，使得存在实数8 求所有自然数例满足： n12n(n?1) }.?{1,2,,?{a?a}1?i?jn}?
ji2
ABnAB中取两个数组中取三个数，}，在={7，8，9，={1，2，34，5，6}，，……，例9 设
Ai?1,2,,20,AA?2,1?i?j?20.n??，成五个元素的集合的最小值。 求iji
n{x,y,z}x?y?3zn，，…，3个互不相交的三元集合}可以划分成，其中例10 集合{1，2n. 求满足
条件的最小正整数
三、基础训练题
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}xx?{1,x,x 。的取值范围是，则实数1．给定三元集合___________
a}?R?R,x?2x?1?0,?A{xaxa 。=___________2中只有一个元素，则．若集合},3,?{12B
___________个。3．集合的非空真子集有 2 MN?}?0ax},N?{x?{M?xx1?3x?2?0则由满足条件的实数4．若，已知集合，aP=___________。 组成的集合 A?B}?aB2},?{xxA?{xx?a的取值范围是___________，且，则常数5。 ．已知S?{1,2,3,4,5}a?S6?a?S，那么符合要求的集合6．若非空集合S满足S，且若，则有___________个。
X?{2n?1n?Z}与Y?{4k?1k?Z}之间的关系是___________7。．集合
A?{x,xy,xy?1}y?Zy?00?Ax?ZA中元素之和是，则，，其中8．若集合且，若___________。
2
M?Pm }?0{},M?xmx?10x{P?xx??6?值构成的．集合，则满足条件的，且9集合为
___________。
2?
}?,??y{BRx1x?x?A{y2?,?},?y?x9xR ，则．集合10．
?
?A?B ___________。1S?21?S;?a?SS?，））且满足1若则如果。，11．已知S是由实数构成的
高中数学 第一章集合与简易逻辑数学竞赛讲义 苏教版
