（五）平面解析几何中的高考热点问题
[命题解读] 1. 圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上．
2．高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，在第(1)问中常以求曲线的标准方程，在第(2)问以求作或证明位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主. 这些试题的命制有一个共同特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高.
圆锥曲线的标准方程与性质 圆锥曲线的方程与性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常见题型，多以选择题或填空题的形式考查，各种难度均有可能．
x2y2
【例1】 (2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线5x2y2
方程为y＝2x，且与椭圆12＋3＝1有公共焦点，则C的方程为( )
x2y2
A.8－10＝1 x2y2
C.5－4＝1
5b5
B [由y＝2x可得a＝2.①
x2y2
由椭圆12＋3＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. x2y2
所以C的方程为4－5＝1. 故选B.]
[规律方法] 解决此类问题的关键是熟练掌握各曲线的定义、性质及相关参数间x2y2
B.4－5＝1 x2y2
D.4－3＝1
的联系. 掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力. x2y2 (1)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近
线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A．2 B.3
23
C.2 D.3
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
b(1)A (2)A [(1)设双曲线的一条渐近线方程为y＝ax， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，
由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝3. 根据点到直线的距离公式得c
所以C的离心率e＝a＝故选A.
(2)因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．
|2b|
＝3，解得b2＝3a2. 22
a＋b
b2
1＋a2＝2.
c2a2＝
1
由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，k1
故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－k(x－1)．
?y＝k?x－1?，由?2得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. ?y＝4x，
2k2＋4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k2，x1x2＝1，
2
所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2| ＝1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2 ＝1＋k·
2
4?1＋k2??2k2＋4?2
?2?－4＝
k2. ?k?
同理可得|DE|＝4(1＋k2)．
4?1＋k2?
所以|AB|＋|DE|＝k2＋4(1＋k2) ?1?＝4?k2＋1＋1＋k2? ??
1??
＝8＋4?k2＋k2?≥8＋4×2＝16，
??
1
当且仅当k2＝k2，即k＝±1时，取得等号． 故选A.]
圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等定值问题．
x2y2【例2】 (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：四点P1(1,1)，P2(0,1)，
a2＋b2＝1(a＞b＞0)，??3?3?
P3?－1，?，P4?1，?中恰有三点在椭圆C上．
2?2???
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
[解] (1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点． 1113
又由a2＋b2＞a2＋4b2知，椭圆C不经过点P1， 所以点P2在椭圆C上． 1??b2＝1，因此?13
＋2??a4b2＝1，
?a2＝4，x22
解得?2故椭圆C的方程为4＋y＝1.
?b＝1.
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
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2020年高考数学一轮复习 平面解析几何中的高考热点问题
