高考文科数学圆锥曲线专题复习试题

高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 椭圆 称 图 象 平面内到两定点F1,F2的距平面内到两定点F1,F2的距离离的和为常数（大于F1F2）的的差的绝对值为常数（小于动点的轨迹叫椭圆即双曲线 的动点的轨迹叫双曲线F1F2）定 义 MF1?MF2?2a 即MF1?MF2?2a 当2a﹥2c时，轨迹是椭圆， 当2a﹤2c时，轨迹是双曲线 当2a＝2c时，轨迹是一条当2a＝2c时，轨迹是两条射线段F1F2 线 当2a﹤2c时，轨迹不存在 当2a﹥2c时，轨迹不存在 x2y2焦点在x轴上时： 2?2?1 abx2y2焦点在x轴上时：2?2?1 y2x2ab焦点在y轴上时：2?2?1 ab标准方 程 y2x2焦点在y轴上时：2?2?1 注：根据分母的大小来判断焦ab点在哪一坐标轴上 常数 a2?c2?b2，a?b?0， a,b,cc2?a2?b2，c?a?0 a最大，c?b,c?b,c?b 的关 c最大，可以a?b,a?b,a?b 系 渐近 线 抛物线：

图 形 方 程 焦 点 准 线 （一）椭圆

x2y2 1. 椭圆的性质：由椭圆方程2?2?1(a?b?0)

abxyabyx焦点在y轴上时：??0 ab焦点在x轴上时：??0 （1）范围：?a?x?a，-b?x?a，椭圆落在x??a，y??b组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 B(0,?b),B2(0,b)。 椭圆共有四个顶点：A(?a,0),A2(a,0)，加两焦点F1(?c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。长分别为2a,2b。a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e?bc?e?1?()2。0?e?1。 aa椭圆形状与e的关系：e?0,c?0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e?0时的特例。e?1,c?a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段

F1F2，此时也可认为是椭圆在e?1时的特例。

2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程

x2y2a2a2 对于2?2?1，左准线l1:x??；右准线l2:x?

ccaby2x2a2a2对于2?2?1，下准线l1:y??；上准线l2:y?

ccaba2a2?c2b2?焦点到准线的距离p??c?（焦参数）

ccc（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性

x2y2由标准方程2?2?1，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从

ab纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （2）顶点

顶点：A1(a,0),A2??a,0?，特殊点：B1(0,b),B2?0,?b?

实轴：A1A2长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （3）渐近线

x2y2bxy 过双曲线2?2?1的渐近线y??x（??0）

abaab （4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e?2cc?，叫做双曲线的离心率 范围：e>1 2aabc2?a2c2 双曲线形状与e的关系：k????1?e2?1，e越大，即渐近2aaa线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 2. 等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y??x；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e?2。

3. 共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为y??x??kbx(k?0)，那么此双曲线方程

kabaxyx2y2???。 ???1(k?0)就一定是：或写成2222(ka)(kb)ab22 4. 共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。

5. 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数

e?c(c?a?0)的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做a双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程：

x2y2a2 对于2?2?1来说，相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??，相对于

caba2右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x?；

cb2 焦点到准线的距离p?（也叫焦参数）。

cy2x2a2 对于2?2?1来说，相对于下焦点F1(0,?c)对应着下准线l1:y??；相对于

caba2上焦点F2(0,c)对应着上准线l2:y?。

c（三）抛物线的几何性质 （1）范围

因为p＞0，由方程y2?2px?p?0?可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性 以－y代y，方程y2?2px?p?0?不变，所以这条抛物线关于

x轴对称，我们把

抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 （3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y2时，x＝0，因此抛物线y2?2px?p?0?中，当

y＝0

?2px?p?0?的顶点就是坐标原点。