∴AC＝2， ∵∠A＝60°，
∴∠ADC＝∠BDK＝30°， ∴CD＝
AC＝2
，AD＝2AC＝4，AH＝AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3，
∵T（BC，AB）＝6，CH⊥AB， ∴BH＝6，
∴DB＝BH﹣DH＝3，
在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°， ∴DK＝BD?cos30°＝∴CK＝CD+DK＝2∴T（BC，CD）＝CK＝
+． ， ＝
，
27．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x． （1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 3 ； ②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
【分析】（1）①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，得出0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，作PM⊥AB于M，交CD于N，作GE
21
⊥CD于E，交AB于F，则PM＝x，PN＝x﹣10，
EF＝BC＝10，由等腰直角三角形的性质得出GE＝CD＝10，得出GF＝GE+EF＝20，GH＝20﹣x，证明△GPQ∽△GDC，得出比例式，得出PQ＝40﹣2x，求出梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣（x﹣13）+169，由二次函数的性质即可得出结果；
（2）P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x+
2
2
x，对称轴x＝10+，得出10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，得出10≤x＜20，二次
2
函数图象开口向下，当x无限接近于20时，S最小，得出﹣20+×20≥50，a≥5；即可得出答案．
【解答】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12， 四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48， 解得：x＝3； 故答案为：3；
②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形， ∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160， 当P在DG上运动，10＜x＜20，四边形AMQP为不规则梯形，
作PM⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示： 则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10， ∵△GDC是等腰直角三角形， ∴DE＝CE，GE＝CD＝10， ∴GF＝GE+EF＝20， ∴GH＝20﹣x， 由题意得：PQ∥CD， ∴△GPQ∽△GDC， ∴即
＝＝
， ，
解得：PQ＝40﹣2x，
∴梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x+26x＝﹣（x﹣13）+169， ∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；
22
2
2
（2）解：P在DG上，则10≤x＜20，AM＝a，PQ＝40﹣2x， 梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x+∵0≤a≤20，
∴10≤10+≤15，对称轴在10和15之间， ∵10≤x＜20，二次函数图象开口向下， ∴当x无限接近于20时，S最小， ∴﹣20+∴a≥5；
综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．
2
2
x，对称轴为：x＝10+，
×20≥50，
28．（12分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′． （1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为 4 ； （2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为 5 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．
【分析】（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题．
（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题．
（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC即可．
23
（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，求出B′E即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8， ∵PB＝4，
∴PB′＝PB＝PA＝4， ∵∠A＝60°，
∴△APB′是等边三角形， ∴AB′＝AP＝4． 故答案为4．
（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．
∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°， ∴△PEB是等边三角形， ∵PB＝5，
∴∵B，B′关于PE对称， ∴BB′⊥PE，BB′＝2OB ∴OB＝PB?sin60°＝
，
24
∴BB′＝5故答案为5
． ．
（3）如图3中，结论：面积不变．
∵B，B′关于直线l对称， ∴BB′⊥直线l， ∵直线l⊥AC， ∴AC∥BB′，
∴S△ACB′＝S△ACB＝×8×
（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，
×8＝16
．
设直线PB′交AC于E，
在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°， ∴PE＝PA?sin60°＝∴B′E＝6+
，
）＝4
+24．
，
∴S△ACB′的最大值＝×8×（6+
25
2019年江苏省扬州市中考数学试卷（含解析）完美打印版
