2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷
数学模拟试卷
本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱．不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U?R，集合A?x?2?x?4,x?Z与B?xx?2k,k?Z的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有（ ）
????A．2个
B．3个
C．4个 D．5个
2．若复数z?A．?2
2?ai?R，则实数a?（ ） 1?i
B．2
C．?1
D．1
3．下列是函数f?x??tan?2x??????的对称中心的是（ ） 4?
C．?0,0?
D．?A．?????,0? ?4?
B．????,0? ?4??3??,0? ?8?4．下图统计了截止到2024年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）
A．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2024年 B．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台 C．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台 D．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%
5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，???，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线．若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（取
lg3?0.4771，lg2?0.3010）
A．16
B．17
C．24
D．25
6．执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为4，则输出的a的值为（ ）
A．6
B．7
2C．8
2 D．9
7．已知直线ax?y?1?0将圆C：?x?1???y?2??4平分，则圆C中以点?长为（ ） A．2
B．22
C．23
D．4
?aa?,??为中点的弦的弦33??8．关于函数f?x??xsinx，x???,?，有下列三个结论： ①f?x?为偶函数；②f?x?有3个零点；③f?x?在?0,A．①②
B．①③
C．②③
???
???
其中所有正确结论的编号是（ ） ?上单调递增．
2?
D．①②③
9．已知圆锥SC的高是底面半径的3倍，且圆锥SC的底面直径、体积分别与圆柱OM的底面半径、体积相等，则圆锥SC与圆柱OM的侧面积之比为（ ） A．10:1
B．3:1
C．2:1
D．10:2
cos2?x1?x0??cos2?x2?x0??????cos2?xn?x0?10．对于集合?x1,x2,???,xn?，定义：??为集合
n，则集合???x1,x2,???,xn?相对于x0的“余弦方差”
?3?2????,?,,?相对于x0的“余弦方差”为（ ） ?105105?2 2
D．A．
1 4 B．
1 2 C．
3 3?lnx?2,x?0?f?m??111．已知f?x???x1，则满足2f?f?m???1?2的实数m的取值范围是（ ）
2?,x?0??2A．???,?1 C．???,1
?
B．???,?1?U0,e2?? D．???,?1U?0,1
????12．在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1?5，垂直于棱AA1的截面分别与面对角线D1A，B1A，B1C，D1C相交于四个不同的点E，F，G，H，则四棱锥A1?EFGH体积的最大值为（ ） A．
8 3 B．
125 8 C．
128 25 D．
640 81二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．曲线f?x??2?xuuuruuuruuurm14．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若AF?mAB?nAD，则?n__________．
1在x?1处的切线斜率为__________． x
x2y2?2?1?b?0?的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与15．已知双曲线C：
4b直线PB的斜率之积为1，则双曲线C的焦距为__________． 16．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B?若BD?2，2AD?3CD，则△ABC的面积为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17?21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17．2024年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会、阅兵式、群众游行在北京隆重举行，这次阅兵编59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，各型飞机160余架、装备580余套，是近几次阅兵中规模最大的一次．某机构统计了观看此次阅兵的年龄在30岁至80岁之间的100个观众，按年龄分组：第1组30,40?，第2组40,50?，第3组50,60?，第4组60,70?，第5组70,80，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值及这100个人的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用分层抽样的方法在年龄为50,60?、60,70?的人中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人中年龄在50,60?的恰有1人的概率．
2?，BD平分?ABC交AC于点D，3?????????
18．已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，2Sn?an?1?n?1． （1）求证：?an??是等比数列．
n（2）若bn?4，求数列?4anbn?的前n项和Tn．
??1?2?19．在四棱锥M?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD?平面ABM，（1）证明：AM?平面ABCD．
（2）若E是BM的中点，CD?3，求E到平面ACM的距离．
2BM?AB?AM?AD?4． 2
x2y2??1交于不同的两点A，B． 20．已知直线l与椭圆C：62（1）若线段AB的中点为?1,?1??，求直线l的方程； ?2?（2）若l的斜率为k，且l过椭圆C的左焦点F，AB的垂直平分线与x轴交于点N，求证：值．
21．已知函数f?x??alnx?x，其中a为常数． （1）讨论函数y?f?x?的单调性；
（2）当a?e（e为自然对数的底数），x?1,???时，若方程f?x??数b的取值范围．
FNAB为定
??b?1?xx?1有两个不等实数根，求实
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
1?cos2??x??在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为?，以坐标原点为极点，x轴的正半1?cos2?（?为参数）
??y?2tan?轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?sin???（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； （2）射线?????????3?0． 6??与曲线C交于点A（异于原点）、与直线l交于点B，求AB的值． 623．[选修4—5：不等式选讲]
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷(6页)
