分类讨论型问题的解题策略
数学思想和方法属于基础知识的范畴，分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法。近年各地中考试题都加强了数学思想方法的考查，其中分类讨论思想的应用最为广泛，成为检测学生分析问题和解决问题能力的常见题型。
分类讨论是在解题过程中，将某一数学对象根据它本身的本质属性，按照一定的原则或标准分成若干类，然后逐类进行讨论解决，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案的一种思想方法；其作用是克服思维的片面性，防止漏解。常见的分类讨论题有：按数分类（绝对值概念，实数的分类等）；按字母的取值范围分类（二次根式的化简，一元二次方程概念中二次项不为0等）；按图形的位置分类（如点与直线，直线与圆的位置关系等）。考查方式有填空题，选择题，综合题，特别是在中考压轴题中，往往涉及分类讨论思想。
【例题讲解】
例1 、若x2a?b?2xa?b?3?0是关于x的一元二次方程，求a、b的值
解答：当??2a?b?2?2a?b?2?2a?b?1 或?或?
?a?b?2?a?b?1?a?b?2或??2a?b?1?2a?b?0或?时，原方程为关于x的一元二次方程，因此，得
a?b?2a?b?0??2?2a??3?3或? 2?4b???3?3a -b
4??a?a???a?1a?1????3或?或?或??2?b?0?b??1?b??b????3??2a+
解析： 结合方程特点，由于 xb项的次数是2a+b ， -2x 项的次数是a – b,因而考虑
这两个次数至少有一个为2即可，共有五种情况。按题目的要求解决问题时，考虑问题要全面周到，要把所有可能的情况进行穷举，避免出现少解或漏解的情况。
例2、（04年贵阳市）如图，AB是半圆O的直径，BC
是弦，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1㎝的速度移动，若AB长为10㎝，点O到BC的距离为4㎝。 （1） 求弦BC的长；
（2） 问经过几秒后，△BPC是等腰三角形。
点拔：第（2）问中P为动点，使得线段PB、PC的长是变化的，由于在“△BPC是等腰三角形”的条件中，没有指明哪两条边为腰，所以要分三种不同情况进行讨论才能将问题回答完整。
解答：（1）过O作OD⊥BC于D，则BD=CD， 在Rt△OBD中，用勾股定理求得BD=3 ∴BC=6 （2设经过x秒，△BPC为等腰三角形，∵PA= x， ∴PB=10 – x
① 当PB=BC时，10 – x = 6，∴x = 4
② 当PB=PC时，则P与O点重合，PB=5 ，10 – x=5 ∴x =5 ③ 当PC=BC时，过C点作CE⊥AB于E点，连结AC，
在Rt△ABC中，求得AC=8，
由AC2 – AE2 = BC2 – BE2，得x =2.8
综上所述：经过2.8秒、4秒、5秒时△BPC是等腰三角形。
解析：1、本题的第（1）问过O作OD⊥BC于D，OD是“弦心距”线段，见弦作出“弦心距”线段，使用勾股定理和垂径定理解题是圆中常用的作辅助线方法。 2、本题的第（2）问是分别将△PBC固定，再求解，体现了由动到静的转化思想及分类讨论思想。与等腰三角形、直角三角形、三角形全等或相似有关的分类讨论的考题是近年中考的热点题型。
例3、（04年济南市）如图，已知直线y?x?3的图象与
B两点．直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2∶1x、y轴交于A、
的两部分．求直线l的解析式．
解答：先求得 A( -3, 0) , B(0 , 3) . 如图（1），当直线 l 把△ABO的面积分为
S△AOC∶S△BOC =2∶1时,作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，
192293 ? 3 ?S△AOB= ? . 则S△AOC ??3 S ? ABO ? ? ， 2233211∴AO·CF=3 . 即?3?CF?3 ∴CF=2 . 22同理，解得 CE = 1 .∴ C( -1 ,2) . ∴直线l的解析式为 y??2x
如图（2），当直线 l 把△ABO的面积分为 S△AOC∶S△BOC=1∶2时, 同理求得C( - 2 ,1) .
∴直线l的解析式为 y= - 0 .5x .
解析：本题是由语言的模糊性导致分类情况的产生，△AOB是定三角形， “直线OC把△AOB的面积分为2∶1的两部分”时，C点的位置并不确定，出现两种情况，画出符合题意的两种图形分别进行求解即可。本题要求学生通过分析题意画出符合要求的图形，培养学生的分类意识。
例4、已知：在△ABC中，∠C=90，AC=BC=8，要在△ABC中剪出一个扇形，使扇形的
半径都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切。
（1） 请画出符合题意的设计方案示意图；
（2） 若用剪下的扇形作圆锥的侧面，请计算出此圆锥的底面半径。 解：（1）有四种设计方案，
(2)如图（a），取
AB中点M，以点C为圆心，CM长为半径画弧，分别交BC、AC
于D、E两点，连结CM。求得l =22π ∵l=2πr，∴2πr=22π，∴r=2
如图（b），作∠B的平分线交AC于点O，以O为圆心，OC长为半径画弧，交AC于点E，作OM⊥AB于M，则CO=OM，求得l = (82– 8) π，∵l=2πr，∴2πr = 2 (82– 8) π，解得r = 42 – 4
如图（c），以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于D，求得l=2π ∴r=1
如图(d)，取AB中点O，作OD⊥AC于D，O为圆心，OD长为半径画弧，交AB于E、F两点求得l = 4π，∴r= 2
综上所述：r=2 或r = 424或r=1或r= 2
解析：这是一道考查学生动手作图能力的设计题。要使扇形的半径都在△ABC的边上，则有两种情况：其一为扇形的顶点在Rt△ABC的一边上，由于直角三角形有直角边、斜边之分；有锐角顶点、直角顶点之分，所以它们又各有两种情况。求圆锥的底面半径时只需注意扇形的弧长是圆锥底面的周长。
例5、如图，等腰△ABC的两直角边AB=AC=62cm,⊙O的半径为rcm，圆心
O从点A出发，沿着线路AB—BC—CA运动，回到点A时，⊙O随着点O所运动而移动。
（1）若r=2cm,求⊙O第一次与BC边相切时，AO的长； （2）在⊙O移动过程中，自A点出发再移动到与A点重 合，与各边共相切几次？请写出不同情况下r的取值范围及相切的次数；
（3）设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S（cm2），在S＞0时，求S关于r的函数解析式。
解答：（1）设⊙O首次与BC相切于点D，则有OD⊥BC，且OD= r =2，
在R t△BDO中，∵∠OBD=45°∴OB?2?sin45?222?2
∴AO= AB - OB=（62–2）cm，
（2）由等腰直角三角形的直角边AB=62cm,所以作斜边BC上的高AF，则AF=AB·Sin45°= 62×
2?6(cm) 2①当r＞62 cm时，⊙O与△ABC各边不相切； ②当r = 62 cm时，⊙O与△ABC各边共相切2次； ③当6＜r＜62 cm时，⊙O与△ABC各边共相切4次；
④当r = 6 cm时，⊙O与△ABC各边共相切5次； ⑤当0＜r＜6 cm时，⊙O与△ABC各边共相切6次；
（3）如图，已知在S＞0时，⊙O在移动中，在Rt△ABC内部未经过的部分为等腰直角三角形，这个Rt△A′B′C′的三边分别与原Rt△ABC三边平行，且平行线间距离等于r。
设B′C′与AF交于E点，则AE⊥B′C′，又过点A′作A′G⊥AB于点G， 则A′G= r ∴ AA′=2r ， A′E=AF –2r r= 6（2+1）r。 B′C′=2[6 –（2+1）r] ∴S =
11 B′C′·A′E=×2[6 （2+1）r]·[6–（2+1）r ] 22=[6 –（2+1）r]2=（3+22）r2 – 12（2+1）r+36 [0＜r＜6（2 –1）]
解析：第（2）问是动圆与直线相切的问题，想象出动圆与三角形各边相切的情况，针对每一种可能出现的情况来求解，方能保证解题的完整性，体现了分类讨论思想的重要性。第（3）问关键是能画出未经过部分的图形形状。此题综合性强，难度大，应加强这方面的训练。 【巩固练习】
1、如图1，在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c,求证：bc=； sinBsinC（2）在△ABC 中，AB=3，AC=2，∠B =450,问满足这样的△ABC 有几个?在图2中
作出来(不写作法,不述理由)并利用(1)的结论求出∠ACB的大小。
A A
C C B B （图2） （图1） 19题图
2、（04年广东茂名市）已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程
x2?(2k?2)x?k2?2k?0的两个实数根，第三边长为10。
问当k为何值时，△ABC是等腰三角形。
3、阅读下面的例题：
解方程x2?x?2?0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2 – x –2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去） （2）当x＜0时，原方程化为x2 + x –2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2∴原方程的根是x1=2, x2= - 2
请参照例题解方程x2?x?1?1?0
4、（04年云南）如图已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE。
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）设AB?10cm，BC?8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的
三角形与△ABC相似，问这样的点有几个？并求AP的长；
B
AO
C
E
5、（01咸宁市）如图已点A的坐标为（2，0），动点P在直线y=直角三角形的点P的坐标。
1x－3上，求使△PAO为2
第四讲 分类讨论型问题
