解答：(1)因为
＋
f(λL，λK)＝3(λL)0.8(λK)0.2＝λ0.80.23L0.8K0.2 ＝λ·3L0.8K0.2＝λ·f(L，K)
所以，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。 (2)因为
－
MPL＝eq \\f(dQ,dL)＝2.4L0.2K0.2
MPK＝eq \\f(dQ,dK)＝0.6L0.8K0.8
所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为
－－
MPL·L＋MPK·K＝2.4L0.2K0.2·L＋0.6L0.8K0.8·K
0.80.20.80.20.80.2
＝2.4LK＋0.6LK＝3LK
可见，对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧拉分配定理分配实物报酬，则所生产的产品刚好分完，不会有剩余。
8.假设生产函数Q＝ min{5L,2K}。 (1)作出Q＝50时的等产量曲线。
(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。 (3)分析该生产函数的规模报酬情况。
解答：(1)生产函数Q＝min{5L,2K}是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图4—2
－
所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为
eq \\f(K,L)＝eq \\f(5,2)。
图4—2
当产量Q＝50时，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。相应的Q＝50的等产量曲线如图4—2所示。
(2)由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替代率MRTSLK＝0。
(3) 因为Q＝f(L，K)＝min{5L,2K}
f(λL，λK)＝min{5λL,2λK}＝λmin{5L,2K}
所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变的特征。
9.已知柯布道格拉斯生产函数为Q＝ALαKβ。请讨论该生产函数的规模报酬情况。 解答：因为 Q＝f(L，K)＝ALαKβ
＋
f(λL，λK)＝A(λL)α(λK)β＝λαβALαKβ
所以当α＋β>1时，该生产函数为规模报酬递增；当α＋β＝1时，该生产函数为规模报酬不变；当α＋β<1时，该生产函数为规模报酬递减。
10. 已知生产函数为
(a)Q＝5Leq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)；
(b)Q＝eq \\f(KL,K＋L)； (c)Q＝KL2；
(d)Q＝min{3L， K}。
求：(1)厂商长期生产的扩展线方程。
(2)当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，厂商实现最小成本的要素投入组合。 解答：(1)(a)关于生产函数Q＝5Leq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)。
MPL＝eq \\f(5,3)L－eq \\f(2,3)Keq \\f(2,3)
MPK＝eq \\f(10,3)Leq \\f(1,3)K－eq \\f(1,3)
由最优要素组合的均衡条件eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(PL,PK)，可得 eq \\f(5,3)L－eq \\f(2,3)Keq \\f(2,3),eq \\f(10,3)Leq \\f(1,3)K－eq \\f(1,3))＝eq \\f(PL,PK)
整理得 eq \\f(K,2L)＝eq \\f(PL,PK)
即厂商长期生产的扩展线方程为
K＝eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(2PL,PK)))L
(b)关于生产函数Q＝eq \\f(KL,K＋L)。
MPL＝eq \\f(K(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝eq \\f(K2,(K＋L)2) MPK＝eq \\f(L(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝eq \\f(L2,(K＋L)2)
由最优要素组合的均衡条件eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(PL,PK)，可得 eq \\f(K2/(K＋L)2,L2/(K＋L)2)＝eq \\f(PL,PK)
整理得
eq \\f(K2,L2)＝eq \\f(PL,PK)
即厂商长期生产的扩展线方程为
K＝eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(PL,PK)))eq \\f(1,2)·L
(c)关于生产函数Q＝KL2。
MPL＝2KL MPK＝L2
由最优要素组合的均衡条件eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(PL,PK)，可得
eq \\f(2KL,L2)＝eq \\f(PL,PK)
即厂商长期生产的扩展线方程为
K＝eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(PL,2PK)))L
(d)关于生产函数Q＝min(3L， K)。
由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有3L＝K，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为K＝3L。
(2)(a)关于生产函数Q＝5L
eq \\f(1,3)
K
eq \\f(2,3)
。
eq
当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，由其扩展线方程K＝\\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(2PL,PK)))L得
K＝2L
代入生产函数Q＝5Leq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)得
5Leq \\f(1,3)(2L)eq \\f(2,3)＝1 000
于是，有L＝eq \\f(200,\\r(3,4))，K＝eq \\f(400,\\r(3,4))。
(b)关于生产函数Q＝
eq \\f(KL,K＋L)。
当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，由其扩展线方程K＝\\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(PL,PK)))eq \\f(1,2)L得
K＝L
代入生产函数Q＝eq \\f(KL,K＋L)，得 eq \\f(L2,L＋L)＝1 000 于是，有L＝2 000，K＝2 000。
(c)关于生产函数Q＝KL2。
当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，由其扩展线方程K＝\\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(PL,2PK)))
L得
eq
eq
K＝eq \\f(1,2)L
代入生产函数Q＝KL2，得 eq \\b\\lc\\(\\rc\\)(\\a\\vs4\\al\\co1(\\f(L,2)))·L2＝1 000
于是，有L＝10eq \\r(3,2)，K＝5eq \\r(3,2)。
(d)关于生产函数Q＝min{3L， K}。
当PL＝1，PK＝1，Q＝1 000时，将其扩展线方程K＝3L，代入生产函数，得
K＝3L＝1 000
于是，有K＝1 000，L＝eq \\f(1 000,3)。
11. 已知生产函数Q＝AL1/3K2/3。
判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？ (2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？
解答：(1)因为Q＝f(L，K)＝ALeq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)， 于是有
f(λL，λK)＝A(λL)eq \\f(1,3)(λK)eq \\f(2,3)＝Aλeq \\f(1,3)＋\\f(2,3)Leq \\f(1,3)KK)
所以，生产函数Q＝AL
eq \\f(2,3)＝λAL
eq \\f(1,3)
K
eq
eq \\f(2,3)＝λ·f(L，
eq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)属于规模报酬不变的生产函数。 eq \\o(K,\\s\%up6(－))表示；而劳动投入
eq \\f(2,3)，有
eq \\f(2,3)
(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以量可变，以L表示。
对于生产函数Q＝AL
MPL＝
且
eq \\f(dMPL,dL)
＝－
eq \\f(1,3)
eq \\f(1,3)AL－
eq \\o(K,\\s\%up6(－))－eq \\f(2,3)
eq \\o(K,\\s\%up6(－))－
eq \\f(2,9)AL－eq \\f(5,3)eq
\\o(K,\\s\%up6(－))－eq \\f(2,3)＜0
这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量MPL是递减的。
类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以本投入量可变，以K表示。
eq \\o(L,\\s\%up6(－))表示；而资
对于生产函数Q＝Aeq \\o(L,\\s\%up6(－))eq \\f(1,3)Keq \\f(2,3)，有
MPK＝eq \\f(2,3)Aeq \\o(L,\\s\%up6(－))eq \\f(1,3)K－eq \\f(1,3)
且 eq \\f(dMPK,dK)＝－eq \\f(2,9)Aeq \\o(L,\\s\%up6(－))eq \\f(1,3)K－eq \\f(4,3)＜0
这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPK是递减的。
以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。
12. 令生产函数f(L，K)＝α0＋α1(LK)eq \\f(1,2)＋α2K＋α3L，其中0≤αi≤1，i＝0,1,2,3。
(1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 (2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。 解答：(1)根据规模报酬不变的定义
f(λL，λK)＝λ·f(L，K) (λ＞0)
于是有
f(λL，λK)＝α0＋α1[(λL)(λK)]eq \\f(1,2)＋α2(λK)＋α3(λL)
＝α0＋λα1(LK)
eq \\f(1,2)＋λα2K＋λα3L
＝λ[α0＋α1(LK)eq \\f(1,2)＋α2K＋α3L]＋(1－λ)α0 ＝λ·f(L，K)＋(1－λ)α0
由上式可见，当α0＝0时，对于任何的λ＞0，有f(λL， λK)＝λ·f(L， K)成立，即当α0
＝0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
(2)在规模报酬不变，即α0＝0时，生产函数可以写成
f(L，K)＝α1(LK)eq \\f(1,2)＋α2K＋α3L
相应地，劳动与资本的边际产量分别为
MPL(L，K)＝eq \\f(?f(L，K),?L)＝eq \\f(1,2)α1L－eq \\f(1,2)Keq \\f(1,2)＋α3
MPK(L，K)＝
eq \\f(?f(L，K),?K)＝
eq \\f(1,2)
α1L
eq \\f(1,2)
K－
eq \\f(1,2)＋α2
而且有 eq \\f(?MPL(L，K),?L)＝eq \\f(3,2)
K
eq \\f(1,2)
eq \\f(?2f(L，K),?K2)＝－
eq \\f(1,4)
α1L
eq \\f(?MPK(L，K),?K)＝
eq \\f(?2f(L，K),?L2)＝－
eq \\f(1,4)α1L－
eq \\f(1,2)K－eq \\f(3,2)
显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。
13. 已知某企业的生产函数为Q＝Leq \\f(2,3)Keq \\f(1,3)，劳动的价格w＝2，资本的价格r＝1。求：
(1)当成本C＝3 000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。 (2)当产量Q＝800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。 解答：(1)根据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件 eq \\f(MPL,MPK)＝eq \\f(w,r)
第四章 生产论 习题+答案
