求数列前n项和的8种常用方法
一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：
n(a1?an)n(n?1)Sn??na1?d
22特别地，当前n项的个数为奇数时，S2k?1?(2k?1)?ak?1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）q?1，Sn?na1； （2）q?1，Sn?a11?qn?1?q3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式:
n
?，特别要注意对公比的讨论；
1（1）?k?1?2?3?L?n?n(n?1)；
（2）?k2?12?22?32?L?n2?n(n?1)(2n?1)??n(n?)(n?1)； （3）?k3?13?23?33?L?n3?[k?1nk?1k?1n211k?1n6312n(n?1)2]2；
（4）?(2k?1)?1?3?5?L?(2n?1)?n2.
?1，求x?x2?x3?L?xn的前n项和. log23?11?log3x??log32?x? 解：由log3x?log232例1 已知log3x?由等比数列求和公式得 Sn?x?x2?x3?L?xn
11(1?n)nx(1?x)2 ＝＝211?x1?21＝1－n
2Sn例2 设Sn?1?2?3?L?n，n?N*,求f(n)?的最大值.
(n?32)Sn?111解：易知 Sn?n(n?1)， Sn?1?(n?1)(n?2)
22Snn ∴ f(n)?＝2
(n?32)Sn?1n?34n?64111? ＝＝
826450(n?)?50n?34?nn81 ∴ 当 n?，即n?8时，f(n)max?.
508二.倒序相加法:如果一个数列?an?，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的，就是
1
将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
例3 求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
解：设S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?…………①
将①式右边反序得
S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?…………② （反序） 又因为 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1
①+②得 （反序相加） 2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴ S＝44.5
x?1??1??1??f?L?f例4 函数f?x??，求f?1??f?2??L?f?2012??f???????f?1?的值.
1?x?2012??2011??2?
三.错位相减法：适用于差比数列（如果?an?等差，?bn?等比，那么?an?bn?叫做差比数列）即把每一项都乘以?bn?的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和. 如：等比数列的前n项和就是用此法推导的.
例5 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1…………①
解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列?2n?1?的通项与等比数列{xn?1}的通项之积 设xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn………………② （设制错位） ①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn （错位相减）
1?xn?1?(2n?1)xn 即：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x) ∴Sn?
(1?x)22462n变式 求数列,2,3,???,n,???前n项的和.
22221?2n?解：由题可知，?n?的通项是等差数列?2n?的通项与等比数列{n}的通项之积
2?2?2462n设Sn??2?3?????n…………………………①
222212462nSn?2?3?4?????n?1………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得，(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1 （错位相减）
222222212n ?2?n?1?n?1
22n?2 ∴Sn?4?n?1
2四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解
2
与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通
?c?项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于?其中?an??，
a?a?nn?1?是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是
an?f?n?1??f?n?. 常见裂项公式： （1）（2）1n(n?1)??n11n?1，
1n(n?k)?(?kn111n?k)；
1111?(?)（?an?的公差为d）；
an?an?1danan?111；?(an?1?an).（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）
an?an?1d（3）
1111n(n?1)(n?1)?2[n(n?1)?(n?1)(n?2)]；
（4）a1111(2n)2n?(2n?1)(2n?1)?2(2n?1?2n?1)；an?(2n?1)(2n?1)?1?12(12n?1?12n?1)； （5）an?212(n?n(n?1)?n?1)?n12n(n?1)2?111n??nn?2n?1?(n?1)2n,则Sn?1?(n?1)2n； sin1?（6）cosn?cos(n?1)??tan(n?1)??tann?； （7）
n11(n?1)!?n!?(n?1)!；
（8）常见放缩公式：2(n?1?n)?2n?1?n?1n?2n?n?1?2(n?n?1).
例6 求数列111?2,2?3,???,1n?n?1,???的前n项和.
解：设an?1n?n?1?n?1?n （裂项）
则 S1n?1?2?12?3?????1n?n?1 （裂项求和） ＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)
＝n?1?1
例7 求和S1n?1?3?13?5?15?7?L?1(2n?1)(2n?1).
例8 在数列?a中，a12n?n?n?1?2n?1?????nn?1，又bn?a?a，求数列?bn?的前n项的和.
nn?1解： ∵ a12nnn?n?1?n?1?????n?1?2
3
∴ bn?211?8(?) （裂项）
nn?1nn?1?22∴ 数列?bn?的前n项和
1111111Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(?)] （裂项求和）
22334nn?11 ＝8(1?)
n?18n ＝
n?1111cos1????????例9 求证： ??????2?cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1111解：设S? ??????cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?sin1????tan(n?1)?tann∵ （裂项） ??cosncos(n?1)111 ∴S? （裂项求和） ??????cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?1???????? ＝{(tan1?tan0)?(tan2?tan1)?(tan3?tan2)?[tan89?tan88]} ?sin1cos1?11??? ＝(tan89?tan0)＝?cot1＝2?
sin1sin1?sin1? ∴ 原等式成立
1111变式 求Sn????.
31535631111???3153563解：1111????1?33?55?77?911111111111?(1?)?(?)?(?)?(?) 232352572791?1111111???(1?)?(?)?(?)?(?)?2?3355779?11?(1?)294?9五.分段求和法：
例10 在等差数列?an?中a10?23,a25??22，求：（1）数列?an?前多少项和最大；（2）数列?an?前n项和.
六.分组求和法: 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
111例11 求数列的前n项和：1?1,?4,2?7,???,n?1?3n?2，…
aaa
4
111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaa将其每一项拆开再重新组合得
111Sn?(1??2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2) （分组）
aaa(3n?1)n(3n?1)n当a?1a＝1时，Sn?n?＝ （分组求和）
2211?na?a1?n(3n?1)n(3n?1)na?当a?1时，Sn?＝. ?1a?1221?a例12 求数列?n?n?1??2n?1??的前n项和.
解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k3?3k2?k ∴ Sn??k(k?1)(2k?1)＝?(2k3?3k2?k)
k?1nnk?1将其每一项拆开再重新组合得
Sn?2?k?3?k??k （分组）
32k?1k?1k?1nnn＝2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n)
n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)?? ＝ （分组求和） 222n(n?1)2(n?2)＝
21111??变式 求数列1,2,3,L,?n?n?,L的前n项和.
2482??解：Sn?1?2?3?L?(n?1)n21111?(1?2?3?L?n)?(?2?3?L?n) 2222 11?n(n?1)?1?n22n121418七.并项求和法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如an???1?f?n?类型，可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论. 例13 求cos1°+ cos2°+ cos3°+…+ cos178°+ cos179°的值. 解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+…..+ cos178°+ cos179°
∵ cosn???cos(180??n?) （找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+L
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
5
数列求和的8种常用方法(最全)
