第二十四讲 质数、合数与因数分解
一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做
质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：
?单位1?正整数?质数
?合数? 质数，合数有下面常用的性质：
1．1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数． 2．若质数p│ab，则必有p│a或p│b．
3．若正整a、b的积是质数p，则必有a=p或b=p．
4．算术基本定理：任意一个大于l的整数N能分解成K个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N可以写成标准分解形式：文档来自于网络搜索 N?p11p22?pkk
其中p1?p2??pk，pi为质数，ai为非负整数，(i＝1，2，…k)．
例题
【例1】 已知三个不同的质数a，b，c满足abbc+a=2000，那么a十b十c= ．
(江苏省竞赛题)
思路点拨 运用乘法分配律、算术基本定理，从因数分解人手，突破a的值．
+注： 对于研究者来说，寻找最大质数的精神，犹如物理学家在寻找比原子更懂小的粒子、或天文学家在不断追寻未为人所知的星体般，都须付出惊人的救力，正是这种单纯为满足求知欲的好奇心，正好是人类突破知识领域的动力．文档来自于网络搜索 18世纪，欧拉发现了当时最大的质数231一l，20世纪末人类借助超级计算机，发现了最大的质数2859433—1． 文档来自于网络搜索 【例2】 不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( )．文档来自于网络搜索 A．3 B．1 C．7 D．9
思路点拨 从寻找适合题意的质数人手．
【例3】 求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．
(上海市竞赛题) 思路点拨 由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数进行实验，但这样的质数惟一吗?还需按剩余类的方法进行讨论．文档来自于网络搜索 【例4】(1)将l，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N．求证：N一定是合数；
(2)若n是大于2的正整数，求证：2n一1与2n+1中至多有一个是质数．
思路点拨 (1)将1到2004随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论怎样排．所得数都有非1和本身的约数；(2)只需说明2n一1与2n+1中必有一个是合数，不能同为质数即可．文档来自于网络搜索 【例5】 用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块；若选田边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x，y、n
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???都是正整数．且(x，y)＝1．试问这块地有多少平方米?文档来自于网络搜索 (湖北省荆州市竞赛题)
思路点拨 虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x、y、n的等式．寻找解题的突破口．文档来自于网络搜索 【例6】由超级计算机运算得到的结果2859433—1是一个质数，则2859433+1是( ) A．质数 B．合数 C奇合数 D．偶合数
思路点拨 ∵ 2859433—1，2859433，2859433+1是三个连续正整数，∵2859433—1的末位数字是1，∴2859433是偶合数．∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433—1是质数，∴2859433+1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433+1是奇合数，故选C．文档来自于网络搜索 注：同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6=3+3，12=5+7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”． 文档来自于网络搜索 【例7】用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x(㎝)规格的地砖，恰用n块；若选用边长为了y(cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知x，、y、n都是正整数，且(x，y)=1．试问：这块地有多少平方米?文档来自于网络搜索 思路点拨 设这块地的面积为S，则S=nx2=(n+124)y2，得n (x2—y2)=124y2． ∵ x>y，(x，y)=1，∴．(x2－y2，y2)=l，得(x2－y2)│124．
∵124=22×31，x2－y2=(x十y)(x－y)，x十y>x－y，且x十y与x－y奇偶性相同，
?x?y?31?x?y?2?31或? ??x?y?1?x?y?2 解之得x=16，y=15，此时n=900．
故这块地的面积为S=nx2=900×162=230400(cm2)=23．04(m2) ．
注：虽然同—块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立x、y、n的等式，寻找解题的突破口．文档来自于网络搜索 【例8】p是质数，p 4+3仍是质数，求p5+3的值． 思路点拨 ∵ p是质数，∴p4+3 >3
又p 4+3为质数，∴p 4+3必为奇数，∴p 4必为偶数，∴p必为偶数． 又∵p是质数，∴p=2， ∴p5+3=25+3=35．
【例9】已知正整数p和q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求pq+qp的值． 思路点拨 pq+11＞11且pq+11是质数，∴pq+11必为正奇质数，pq为偶数，而数p、q均为质数，故p=2或q=2．文档来自于网络搜索 当p=2时，有14+q与2q+11均为质数．当q=3k+1(k≥2)时，则14+q=3 (k+5)不是质数；
文档来自于网络搜索 当q==3k+2(k∈N)时，2q+11=3(2k+5)不是质数，因此，q=3k，且q为质数，故q=3．文档来自于网络搜索 当q=2时，有7p+2与2p+11均为质数．当p==3k+1(k≥2)时，7p+2=3(7k+3)不是质数；当p=3k+2(k∈N )时，2p+11=3(2k+5)不是质数，因此，p=3k，当p为质数，故p=3．文档来自于网络搜索 故pq+qp=23+32=17．
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【例10】若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数． 思路点拨 我们知道，n除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．
若余数为0，即n=3k(k是一个非负整数，下同)，则n+3=3k+3=3(k+1)，所以3│n+3，又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．文档来自于网络搜索 若余数为2，且n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3(k+3)，故3│n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．所以n除以3所得的余数只能为1．文档来自于网络搜索 注：一个整数除以m后，余数可能为0，1，…，m—1，共m个，将整数按除以m所得的余数分类，可以分成m类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数．同样，m=3时，就可将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用．文档来自于网络搜索 【例11】设a、b、c、d都是自然数，且a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d定是合数． 思路点拨 ∵a2+b2与a+b同奇偶，c2+d2与c+d同奇偶，又a2+b2=c2+d2，
∴a2+b2与c2+d2同奇偶，因此a+b+c+同奇偶． ∴ a+b+c+d是偶数，且a+b+c+d≥4，文档来自于网络搜索 ∴a+b+c+d一定是合数．
注：偶数未必都是合数，所以a+b+c+d≥4在本题中是不能缺少的．
m2?n2【例12】正整数m和m是两个不同的质数，m+n+mn的最小值是p，求的值． 2p思路点拨 要使p的值最小，而m和n都是质数，则m和n分别取2和3，于是
m2?n213p=m+n+mn=11，故． ?2121p 注：要使p值最小，别m和n尽可能取较小的值，而m、n是两个不同的质数，故m和
n分别取2和3，从而p值可求．文档来自于网络搜索 【例13】若a、b、c是1998的三个不同的质因数，且a＜b＜c，则(b+c)a的值是多少? 思路点拨 ∵1998=2×3×3×37，而a、b、c为质数， ∴a、b、c的值分别为2、3、37．
a＜b＜c，故a=2，b=3，c=37，得(b+c)a =1600．
【例14】n是不小于40的偶数，试证明：n总可以表示成两个奇合数的和．
思路点拨 因为n是不小于40的偶数，所以，n的个位数字必为0、2、4、6、8，现在以n的个位数字分类：文档来自于网络搜索 (1)若n的个位数字为0，则n=15+5k(k≥5为奇数)； (2)若n的个位数字为2，则n=27+5k(k ≥3为奇数)； (3)若n的个位数字为4，则n=9+5k(k≥7为奇数)； (4)若n的个位数字为6，则n=21+5k(k≥5为奇数)； (5)若n的个位数字为8，则n=33+5k(k≥3为奇数)；
综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇合数的和．
注：本题证明一个不小于40的偶数可以表示成两个奇合数之和，其难度与“哥德巴赫猜想”当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意． 文档来自于网络搜索 【例15】 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问： (1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?
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(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．
思路点拨 (1)能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，…，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．文档来自于网络搜索 (2)不能办到．若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．文档来自于网络搜索 注 站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．
【例16】 (第62届莫斯科竞赛试题)写出5个正整数，使它们的总和等于20，而它们的积等于420．
思路点拨 设这5个正整数为x1、x2、x3、x4、x5，则
x1?x2?x3?x4?x5?420?22?3?5?7，而x1?x2?x3?x4?x5?20，故知这5个数分
别为1、4、3、5、7．
注： 在420的分解式中，把22看作2×2(即两个数相乘)还是一个数4，是否再增加一个因数1，这取决于对求和式的观察．文档来自于网络搜索 【例17】若自然数n+3与n+7都是质数，求n除以6的余数．
思路点拨 不妨将n分成六类，n=6k，n=6k+1，…，n=6k+5，然后讨论． 当n=6k时，
n+3=6k+3=3(2k+1)与n+3为质数矛盾； 当n=6k+1时，
n+3=6k+4=2(3k+2)与n+3为质数矛盾； 当n=6k|+2时，
n+7=6k+9=3(2k+3)与n+7为质数矛盾； 当n=6k+3时，
n+3=6k+6=6(k+1)与n+3为质数矛盾； 当n=6k+5时，
n+7=6k+12=6(k+2)与n+7为质数矛盾．
所以只有n=6k+4，即n除以6的余数为4． 本题利用分类讨论进行．
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学力训练
1．在l，2，3，…，n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q一m)十(p一k)＝ ．文档来自于网络搜索 2．p是质数，并且p+3也是质数，则p11一52＝ ．
(北京市竞赛题) 3．若a、b、c、d为整数，且(a2+b2)(c2+d2)=1997，则a2+b2+c2+d2= ．文档来自于网络搜索 4．已知a是质数，b是奇数，且a2+b＝2001，则a+b＝ ．
(江苏省竞赛题) 5．以下结论中( )个结论不正确．
(1) 1既不是合数也不是质数；(2)大于0的偶数中只有一个数不是合数；
(3)个位数字是5的自然数中，只有一个数不是合数；(4)各位数字之和是3的倍数的自然数，个个都是合数．文档来自于网络搜索 A．1 B．2 C． 3 D．4
( “五羊杯”竞赛题) 6．若p为质数，p3+5仍为质数，p5+7为( )．
A．质数 B．可为质数也可为合数 C．合数 D．既不是质数也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛题) 7．超级计算机曾找到的最大质数是2859433一1，这个质数的末尾数字是( )． A．1 B．3 C．7 D．9
8．若正整数a、b、c满足a2?b2?c2，a为质数，那么b、c两数( )． A．同为奇数 B．同为偶数 C． 一奇一偶 D．同为合数 9．设n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数． 10．试证明：形如11111l十9×10n(n为自然数)的正整数必为合数．
pp?qq11．若p、q为质数，m、n为正整数，p＝m+n，q＝mn，则n= ． mm?n12．若质数，m、n满足5m+7n＝129，则m+n＝ ．
(河北省竞赛题)
13．已知三个质数m、n、p的积等于这三个质数的和的5倍，则m2+n2+p2＝ ． (2004年武汉市选拔赛试题)
14．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于 ．文档来自于网络搜索 15．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1992个数是 ．文档来自于网络搜索 (北京市“迎春杯”竞赛题)
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十质数合数与因数分解
