数学北师大必修优化训练：正切函数 含解析

§6 正切函数

5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.函数y=tan（A.{x|x≠

?-x）的定义域是（ ） 4??，x∈R} B.{x|x≠?，x∈R}

443??C.{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R} D.{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}

44???解析：要使函数有意义，需满足-x≠+kπ（k∈Z），所以x≠?+kπ（k∈Z），也可写成

4423?x≠+kπ（k∈Z）.

4答案：D

2.作出函数y=|tanx|的图像，并根据图像求其单调区间. 解：y=|tanx|

??tanx,x?[k?,k??),??2??(k∈Z)，

???tanx,x?(k??,k?)?2?

所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ，kπ+（k∈Z）. 3.x取什么值时，

??）（k∈Z）；单调减区间为（kπ-，kπ］22sinx?cosx有意义？

tanx解：由题意得tanx≠0，∴x≠kπ(k∈Z).

1?(k∈Z),∴x≠kπ(k∈Z).

221sinx?cosx故当x∈{x|x≠kπ,k∈Z}时，有意义.

2tanx又x≠kπ+

10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.函数y=tanx（???≤x≤且x≠0）的值域是（ ） 44A.［-1，1］ B.［-1，0）∪（0，1］

C.（-∞，1］ D.［-1，+∞） 解析：先画出y=tanx在［?的值域.

??,］上的图像，再根据所给的定义域结合图像研究y=tanx44

答案：B

2.tan1，tan2，tan3的大小关系为（ ）

A.tan1＞tan2＞tan3 B.tan1＞tan3＞tan2 C.tan2＞tan1＞tan3 D.tan3＞tan2＞tan1 解析：tan1=tan(π+1),2、3、π+1∈(tan1＞tan3＞tan2. 答案：B 3.在区间（??3??3?, )，因为y=tanx在(, ）上是增函数，所以22223?3?）范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图像交点的个数为（ ） ,22A.1 B.2 C.3 D.4

解析：先在同一坐标系下作出函数y=tanx与函数y=sinx的图像，通过图像研究它们的交点个数. 答案：C

4.不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小： （1）tan167°与tan173°； （2）tan（?解：（1）∵90°<167°<173°<180°，

又∵y=tanx在（90°，270°）上是增函数， ∴tan167°

11?13?）与tan（?）. 4511?3?13?3?）=tan（?），tan（?）=tan（?）， 44553?3?3??3??又∵?

4511?13?即tan（?）

45（2）∵tan（?5.根据正切函数的图像，写出下列不等式的解集：

（1）tanx≥-1; (2)tan2x≤-1. 解：作出y=tanx的图像，如图.

?????)=-1,在(?,)内，满足条件的x为?≤x<,由正切函数的图像，42242??可知满足此不等式的x的取值集合为{x|?+kπ≤x<+kπ,k∈Z}.

42???(2)在（?,)内，tan(?)=-1.

224（1）∵tanx≥-1,tan(?

∴不等式tan2x≤-1的解集由不等式

??<2x≤kπ? (k∈Z)确定 24k??k??解得?

2428k??k??∴不等式tan2x≤-1的解集为{x|?

2428kπ?30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)

1.下列函数中是奇函数的是（ ）

A.y=-sinx B.y=|sinx| C.y=cosx+1 D.y=tanx-1

解析：用定义判断函数的奇偶性.一一验证可以发现只有Ａ项的函数为奇函数. 答案：A 2.若tanx=?A.

3??且x∈（?，），则x等于（ ） 3225???2? B.? C.? D. 66333??＜0，且x∈（?,）， 322解析：由于tanx=?即x的终边在y轴的右侧，可知x=?答案：B

3.若cos（π+α）=??. 610?3?，且α∈（?，0），则tan（+α）的值为（ ） 522A.?6666 B. C.? D. 323210, 5解析：cos(π+α)=-cosα=?∴cosα=

10. 51015?2??，0），∴sinα=?1?cos???1?. 2552又α∈（?∴tan（

cos?63???+α）=cotα=. sin?32答案：A

4.据正切函数的图像，写出不等式tanx?3≥0成立的x值的集合：________________.

解析：画出y=tanx在（???,）上的图像. 22

?， 3??从而得出结果kπ+≤x＜kπ+（k∈Z）.

32??答案：{x|kπ+≤x＜kπ+（k∈Z）

32找出tanx=3时的角x=

)25.化简：. ?cos(????)sin(????)tan(??)2解：原式=

sin(???)cos(2???)tan(????sin?cos?cot?=-1.

(?cos?)(?sin?)(?cot?)6.已知α是第二象限角，且cos（α??1)=，求25sin(???)?cos(???)?tan(??3?tan(??)?cos(??)223???)2的

值. 解：原式=?sin?(?cos?)(?cot?)??cos?，

?cot?(?sin?)∵cos(α-

1?)=sinα=，且α是第二象限的角，

52152∴cosα=?1?()??26. 5∴原式=

26. 57.证明

2sin(???)?cos??1tan(9???)?1?. tan(???)?11?2sin2?证明：左边=

?2sin?cos??1

cos2??sin2?(sin??cos?)2sin??cos??=?,

(cos??sin?)(cos??sin?)sin??cos?

右边=

?tan??1tan??1sin??cos?, ???tan??1tan??1sin??cos?左边=右边， ∴原等式成立.

8.请利用单位圆中的三角函数线，完成下面两个问题：

?时，tanx与x的大小关系； 2??（2）方程tanx=x在?＜x＜内有解吗？如有，有几个解？

22（1）当0＜x＜解：（1）如图(1),x=

，角x的正切线为AT，

即tanx=AT，由Ｓ扇形AOP＜Ｓ△OAT，

11OA·APx（0

2即

（2）由于y=x与y=tanx为奇函数，由（1）的结论，得当?又x=0是方程x=tanx的解， 因此方程x=tanx在（??

??0,x?(?,0),??2y=tanx+|tanx|=?

?2tanx,x?[0,?).?2?其定义域为{x|x∈R,x≠kπ+

?,k∈Z}. 2值域为［0，+∞）；周期为T=π； 区间（k???2,kπ］（k∈Z）既不是增区间也不是减区间，其中［kπ,k???2)(k∈Z)为单调

递增区间，其图像如图