第二十二章 二次函数
22.3.1 二次函数与图形面积问题
知识要点
1．求二次函数y＝ax＋bx＋c最值的方法：
(1)用配方法将y＝ax＋bx＋c化成y＝a(x－h)＋k的形式，当自变量x＝__h___时，函数
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y有最大(小)值为__k___．
(2)用公式法，当x＝__－___时，二次函数y＝ax＋bx＋c有最大(小)值_____． 2．面积最值问题应该设图形一边长为__自变量___，所求面积为因变量，建立__二次函数___的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的__取值范围___．
知识构建
知识点1：用配方法或公式法求二次函数的最大(小)值
1．当－2≤x≤3时，二次函数y＝x－2x＋3的最大值为__11___，最小值为__2___．
知识点2：二次函数与图形面积问题
2．在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图)，如果要使整个挂图的面积是y cm，设金色纸边的宽度为x cm，那么y与x之间的函数关系是( A )
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A．y＝(60＋2x)(40＋2x) B．y＝(60＋x)(40＋x) C．y＝(60＋2x)(40＋x) D．y＝(60＋x)(40＋2x)
,第2题图) ,第4题图)
3．已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( B )
A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
4．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( C )
A. m2 B. m2 C. m2 D．4 m2
5．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地，当AD＝__20_m___时，矩形场地的面积最大，最大值为__800_m___．
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,第5题图) ,第6题图)
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为__2___s.
7．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm)随x的变化而变化．
(1)S与x之间的函数关系式为__S＝－x＋20x___；
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(2)当x＝__20_cm___时，这个三角形面积S最大，最大面积是__200_cm___．
8．如图，一个正方形纸板的边长为10 cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设AE＝BF＝CG＝DH＝x(cm)，阴影部分的面积为y(cm)．
(1)求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)当x取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？
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解：(1)y＝－2x＋20x(0＜x＜10) (2)配方得y＝－2(x－5)＋50，∴当x＝5时，阴影面积最大，y最大＝50
知识运用
9．将一条长20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5_cm___．
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10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝__6_cm___时，四边形PECF的面积最大，最大值为__9_cm___．
11．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60
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cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？ 解：(1)S＝－x＋30x
(2)∵S＝－x＋30x＝－(x－30)＋450，且a＝－＜0，∴当x＝30时，S有最大值，最大值为450.即当x为30 cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm
12．(2017·成都)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.
(1)若花园的面积为192 m，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
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解：(1)由AB＝x，得BC＝28－x，根据题意， 得x(28－x)＝192，解得x1＝12，x2＝16 (2)S＝x(28－x)＝－x＋28x＝－(x－14)＋196，∵x≥6，28－x≥15，∴6≤x≤13.∵a＝－1＜0，∴当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S有最大值195 m
能力拓展
13．如图，等腰直角三角形ABC以2 cm/s的速度沿直线m匀速向正方形CDEF移动，直到AB与
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EF重合．设移动x s时，三角形与正方形重合部分的面积为y cm2.
(1)当x＝2，7时，y的值分别为多少？
(2)求从开始移动时到AB与EF重合时，y与x的函数关系式，并求出x的取值范围． 解：(1)当x＝2时，y＝8；当x＝7时，y＝42
(2)当0＜x≤5时，△ABC与正方形CDEF重合部分是三角形，y＝2x；当5＜x＜10时，△
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ABC与正方形CDEF重合部分是梯形，y＝－2x2＋20x，当x＝0和10时，重合部分的面积为0，
∴y＝
九年级数学上册22.3.1二次函数与图形面积问题试题(新版)新人教版
