全国高中数学联赛模拟试题（六）
第一试
一、 选择题:（每小题6分,共36分）
1、在复平面上,非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心,1为半径的圆上,z1?z2的实部为零,argz1=（A）?33?i 2233?i 22?,则z2= 6
（B）
33?i 2233?i 22（C）? （D）
1??2、已知函数f?x??loga?ax2?x??在[1,2]上恒正,则实数a的取值范围是
2???15?（A）?,?
?28?
?3?（B）?,???
?2??1?（D）?,???
?2??15??3?（C）?,???,???
?28??2?
3、已知双曲线过点M(?2,4),N(4,4),它的一个焦点为F1(1,0),则另一个焦点F2
的轨迹方程是
22??x?1?y?4??（A）
2516?1（y≠0）或x=1（y≠0）
22??x?1?y?4??（B）
1625?1（x≠0）或x=1（y≠0）
22??x?4?y?1??（C）
2516?1（y≠0）或y=1（x≠0）
22??x?4?y?1??（D）
1625?1（x≠0）或y=1（x≠0）
4、已知正实数a、b满足a+b=1,则M?1?a2?1?2b的整数部分是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5、一条笔直的大街宽是40米,一条人行道穿过这条大街,并与大街成某一角
度,人行道的宽度是15米,长度是50米,则人行道间的距离是
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（A）9米 （B）10米 （C）12米 （D）15米
6、一条铁路原有m个车站,为适应客运需要新增加n个车站（n＞1）,则客运
车票增加了58种（注:从甲站到乙站需要两种不同的车票）,那么原有车站的个数是 （A）12 （B）13 （C）14 （D）15
二、 填空题:（每小题6分,共36分）
1、长方形ABCD的长AB是宽BC的23倍,把它折成无底的正三棱柱,使AD与BC重合折痕线EF、GH分别交原对角线AC于M、N,则折后截面AMN与底面AFH所成的角是 ．
2、在△ABC中,a、b、c是角A、B、C的对边,且满足a2+b2=2c2,则角C的最
大值是 ．
3、从盛满a升（a＞1）纯酒精的容器里倒出1升,然后填满水,再倒出1升混
合溶液后又用水填满,如此继续下去．则第n次操作后溶液的浓度是 ．
4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集,对任意x≥0,规定
f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3?x,g(x)=2x?5,则f(x)*g(x)的最大值为 ．
5、从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则可
有 不同的取法． 6、若实数a＞0,则满足a5?a3+a=2的a值属于区间:①0,63；②
③
???62,63；
??63,??；④0,32．其中正确的是 ．
???三、 （20分）
求证:经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积
四、 （20分）
直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P、Q
a2b2a2?b2两点,O为坐标原点,且OP⊥OQ．求证:2?2． 2CA?B
五、 （20分）
某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部,共有190名售
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货员,计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元,根据经验,各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1,每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部,同时适当安排各部的营业员人数,若商场预计每日的总利润为c（万元）且满足19≤c≤19.7,又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元,问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？
表1 各部每1万元营业额所需人数表
部门 人数 百货部 5 服装部 4 家电部 2 表2 各部每1万元营业额所得利润表
部门 利润 百货部 0.3万元 服装部 0.5万元 家电部 0.2万元
第二试
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