（几何压轴大题）中考考点必刷题
1．（2019·安徽省中考模拟）已知如图1，在△ABC中，△ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE△AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝22，直接写出线段BF的范围．
【答案】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由见解析；（2）结论不变．理由见解析；（3）2≤BF?32．【解析】
解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF． 理由：如图1中，
⊥⊥ADE＝⊥ACE＝90°，AF＝FE， ⊥DF＝AF＝EF＝CF，
⊥⊥FAD＝⊥FDA，⊥FAC＝⊥FCA，
⊥⊥DFE＝⊥FDA+⊥FAD＝2⊥FAD，⊥EFC＝⊥FAC+⊥FCA＝2⊥FAC， ⊥CA＝CB，⊥ACB＝90°， ⊥⊥BAC＝45°，
⊥⊥DFC＝⊥EFD+⊥EFC＝2（⊥FAD+⊥FAC）＝90°，
⊥DF＝FC，DF⊥FC． （2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．
⊥BC⊥AM，AC＝CM， ⊥BA＝BM，同法BE＝BN， ⊥⊥ABM＝⊥EBN＝90°， ⊥⊥NBA＝⊥EBM， ⊥⊥ABN⊥⊥MBE，
⊥AN＝EM，⊥⊥BAN＝⊥BME， ⊥AF＝FE，AC＝CM， ⊥CF＝
11EM，FC⊥EM，同法FD＝AN，FD⊥AN， 22⊥FD＝FC，
⊥⊥BME+⊥BOM＝90°，⊥BOM＝⊥AOH， ⊥⊥BAN+⊥AOH＝90°， ⊥⊥AHO＝90°， ⊥AN⊥MH，FD⊥FC． （3）2?BF?32．
当点E落在AB上时，BF取得最大值，
如图5所示，⊥BC?4，AC?BC，?ACB?90?，⊥AB?42， ⊥F是AE的中点，⊥EF=1?AB?BE?， 2
又BE?22，
⊥BF?BE?EF?BE?11?AB?BE??22?42?22?32， 22??即BF的最大值为32．
图5
当点E落在AB延长线上时，BF取得长最小值，
如图6所示，⊥BC?4，AC?BC，?ACB?90?，⊥AB?42， ⊥F是AE的中点，⊥AF=又BE?22，
⊥BF?AB?AF?AB?1?AB?BE?， 211?AB?BE??42?42?22?2， 22??即BF的最小值为2．
图6
综上所述，2?BF?32． 【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．（2019·山东省中考模拟）正方形ABCD中，E是CD边上一点，
（1）将ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到ABF，如图1所示.观察可知：与DE相等的线段是_______，?AFB??______.
（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且?PAQ?45?，试通过旋转的方式说明：DQ?BP?PQ
（3）在（2）题中，连接BD分别交?x|2?x?4 ?于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2?DN2?MN2.
【答案】（1）BF，AED；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】
(1)、⊥⊥ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到⊥ABF， ⊥DE=BF，⊥AFB=⊥AED．
(2)、将⊥ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到⊥ABE，如图2，
则⊥D=⊥ABE=90°， 即点E、B、P共线，⊥EAQ=⊥BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ， ⊥⊥PAQ=45°， ⊥⊥PAE=45° ⊥⊥PAQ=⊥PAE， ⊥⊥APE⊥⊥APQ（SAS）， ⊥PE=PQ， 而PE=PB+BE=PB+DQ， ⊥DQ+BP=PQ；
(3)、⊥四边形ABCD为正方形， ⊥⊥ABD=⊥ADB=45°，
如图，将⊥ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到⊥ABK，
则⊥ABK=⊥ADN=45°，BK=DN，AK=AN， 与（2）一样可证明⊥AMN⊥⊥AMK，得到MN=MK， ⊥⊥MBA+⊥KBA=45°+45°=90°， ⊥⊥BMK为直角三角形， ⊥BK2+BM2=MK2， ⊥BM2+DN2=MN2．
考点：(1)、旋转的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、勾股定理；(4)、正方形的性质．
3．（2019·内蒙古自治区中考模拟）如图,△ABC内接于△O,AB是△O的直径,CD平分△ACB交△O于点D,交AB于点F,弦AE△CD于点H,连接CE、OH.
(1)延长AB到圆外一点P,连接PC,若PC2=PB·PA,求证:PC是△O的切线; (2)求证:CF·AE=AC·BC; (3)若
AF3=,△O的半径是13,求tan△AEC和OH的长. BF2
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) tan⊥AEC=【解析】
(1)证明:∵PC2=PB·PA,∵
3，OH =1. 2PCPA=, PBPC∵⊥BPC=⊥APC,∵⊥PBC⊥⊥PCA, ∵⊥BAC=⊥PCB,连接OC,如图所示,
∵AO=OC,∵⊥ACO=⊥BAC,∵⊥ACO=⊥PCB. ∵AB是⊥O的直径,∵⊥ACB=90°, ∵⊥BCO+⊥ACO=90°,
∵⊥BCO+⊥PCB=90°,∵⊥PCO=90°. ∵OC是半径,∵PC是⊥O的切线. (2)证明:∵AB是⊥O的直径,∵⊥ACB=90°. ∵CD平分⊥ACB,∵⊥ACD=⊥FCB=45°. ∵AE⊥CD,∵⊥CAE=45°=⊥FCB. 在⊥ACE与⊥CFB中, ⊥CAE=⊥FCB,⊥AEC=⊥FBC, ∵⊥ACE⊥⊥CFB,∵
ACAE=, CFBC∵CF·AE=AC·BC.
(几何压轴大题)中考数学考点必刷题
