2021届高考数学一轮复习阶段测评卷
（八）平面向量
1.给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的； ②若a，b都是单位向量，则a?b； ③向量AB与BA相等. 则所有正确命题的序号是( ) A.①
B.③
C.①③
D.①②
2.已知矩形ABCD的对角线长为4，若AP?3PC，则PB?PD?( ) A.?2
B.?3
C.?4
D.?5
3.已知向量a?(1,3),b?(2,t)，且(a?b)?a?3，则t?( ) A.3
B.-3
C.3 D.?3 4.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近则DF?( )
A点的三等分点，
12A.?AB?AD
3312B.AB?AD 331 215C.AB?AD 3613D.AB?AD 345.已知向量a?(1,m),b?(2,1),c?(4,?1).若c//(3a?b)，则实数m的值为( ) A.
1 4B.C.1 D.2
6.已知向量a,b,c满足a?2b?2c?2，且2b?a?c，则cosa,c=( ) A.
1 2B.?1 2C.
1 4D.?1 47.已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{MA,MB,MC}成为空间的一个基底的是( )
111A.OM?OA?OB?OC
333B.MA?MB?MC
C.OM?OA?OB?OC D.MA?2MB?MC
8.已知A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足AC?AD?0,AB?AD?0，点M为BC的中点，则△AMD是( ) A.钝角三角形 C.直角三角形
B.锐角三角形
D.以上三种情况都有可能
9.如图，已知G是△ABC的重心，H是BG的中点，且AB?2，AC?3，?BAC?60?，则AG?AH?( )
A.
20 9B.2
5C. 91D. 310.已知向量a与b的夹角为θ，定义a?b为a与b的向量积，且a?b是一个向量，它的模
|a?b|?|a||b|sin?.若u?(2,0)，u?v?(1,?3)，则|u?(u?v)|?( )
A.43 B.3 C.6
D.23
11.已知向量a?(m,1),b?(2,?3)，且(a?b)?(a?mb)，则实数m?__________. 12.已知向量a?(m,3)，b?(m?2,1)，若a?b?|a|，则b在a方向上的投影为_________. 13.在梯形ABCD中，AD//BC，AB?BC?0，AB?2，BC?4，AC则向量AE?CD=____________.
2BD?E，AC?BD，
14.已知点P是棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1内部的一动点，且|PA|?2，则PC1?PD1的值取最小时，PC1与PD1的夹角的大小为______. 15.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a?(1,2). (1)若|c|?25，且c//a，求c的坐标； (2)若|b|?5，且a?2b与2a?b垂直，求a与b的夹角?. 2
答案以及解析
1.答案：A
解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；AB与向量BA互为相反向量，故③错误.故选A. 2.答案：B
解析：设O为对角线AC和BD的中点，则OB?OD?0,OB?OD?2.由AP?3PC，得
OP?1.因为PB?PO?OB,PD?PO?OD，所以
PB?PD?(PO?OB)?(PO?OD)?PO?PO?(OB?OD)?OB?OD?1?4??3.故选B.
3.答案：D
解析：易知a?b?(3,3?t),?(a?b)?a?3?(3?t)3?3，?t??3.故选D. 4.答案：C
15?1解析：DF?DA?AF?DA?1AE?DA?1(AB?BE)??AD?1??AB?AD??AB?AD.
333?2?362故选C. 5.答案：A
解析：由题可知3a?b?(1,3m?1)，又c//(3a?b)，所以(3m?1)?4??1，解得m?A. 6.答案：D
1.故选4122解析：由题意得2b?a?c?a?c?2a?c?2，解得cos?a,c???，故选D.
47.答案：C
解析：对于选A，OM?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)?M,A,B,C四点共面，知
MA,MB,MC共面；对于选项B，D，易知MA,MB,MC共面，故选C.
8.答案：C
1解析：因为点M为BC的中点，?AM?(AB?AC)，
2111?AM?AD?(AB?AC)?AD?AB?AD?AC?AD?0，?AM?AD，?△AMD为直角
222三角形.故选C.
9.答案：A
解析：设D是△ABC的边BC的中点，连接GD， 因为G是△ABC的重心，所以A,G,D三点共线，
AG?AH?2211AD??(AB?AC)?(AB?AC).又H是BG的中点，所以332311?1?1(AB?AG)??AB?(AB?AC)??(4AB?AC)， 22?3?6111则AG?AH?(AB?AC)?(4AB?AC)?(4|AB|2?5|AB|?|AC|cos?BAC?|AC|2)
36181120，故选A. ??(4?22?5?2?3??32)?182910.答案：D
3解析：易知v?(1,3)，u?v?(3,3)，设向量u与u?v的夹角为θ，则cos??，所以
211sin??，又|u?v|?23，|u|?2，所以|u?(u?v)|?2?23??23.故选D.
2211.答案：9?69 3解析：因为a?b?(m?2,4),a?mb?(3m,1?3m),(a?b)?(a?mb)，
所以(a?b)?(a?mb)?(m?2,4)?(3m,1?3m)?(m?2)?3m?4?(1?3m)?3m2?18m?4?0， 解得m?9?69. 312.答案：32 b?(m?2,1)，解析：因为向量a?(m,3)，且a?b?|a|，所以m(m?2)?3?m2?9，解得m?3，
即向量a?(3,3)，b?(5,1)，则b在a方向上的投影为
2a?b3?5?3?1??32. 22|a|3?313.答案：?16 5解析：由AB?BC?0知，AB?BC，以B为原点，以向量BC,BA分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,2),B(0,0),C(4,0)，设D(a,2)，则BD?(a,2),CA?(?4,2)，所以BD?AC??4a?4?0，解得a?1，所以D(1,2)，设BE??BD?(?,2?)，所以E(?,2?)，所以AE?(?,2??2)，因为E在AC上，所以AE//AC，所以2??4(2??2)?0，解得??4，54216所以AE?(,?)，CD?(?3,2)，所以CD?AE??.
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2021届高考数学一轮复习阶段测评卷(八)平面向量
