高中解析几何复习资料
高考专题：解析几何常规题型及方法
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
y2?1。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2的中点P 典型例题 给定双曲线x?22的轨迹方程。
2y12y22?1，x2??1。 分析：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得x?2221 两式相减得 (x1?x2)(x1?x2)?1(y1?y2)(y1?y2)?0。 2 又设中点P（x,y），将x1?x2?2x，y1?y2?2y代入，当x1?x2时得 2x?y?y22y·1?0。 2x1?x2y1?y2y?1?，
x1?x2x?222 又k? 代入得2x?y?4x?y?0。
当弦P1P2斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2x?y?4x?y?0
说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。
（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
22x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆2?2?1上任一点，F1(?c,0)，F2(c,0)为焦点，?PF1F2??，?PF2F1??。
ab （1）求证离心率e?sin(???)；
sin??sin?3 （2）求|PF1|?PF2|的最值。
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分析：（1）设|PF1|?r1，|PF2?r2，由正弦定理得
r1r2c?2?。 sin?sin?sin(???) 得
r1?r22c?，
sin??sin?sin(???) e?csin(???)? asin??sin?33322 （2）(a?ex)?(a?ex)?2a?6aex。 当x?0时，最小值是2a3；
当x??a时，最大值是2a?6ea。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法
典型例题 抛物线方程y2?p(x?1)(p?0)，直线x?y?t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
p（1）证明：抛物线的准线为1：x??1?
4 由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 t??1??x?y?t消去y得x2?(2t?p)x?(t2?p)?0 由?2?y?p(x?1)323p，而4t?p?4?0 4 ???(2t?p)2?4(t2?p)?p(4t?p?4)?0 故直线与抛物线总有两个交点。
（2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) ?x1?x2?2t?p，x1x2?t2?p ?OA?OB，?kOA?kOB??1 则x1x2?y1y2?0 又y1y2?(t?x1)(t?x2) ?x1x2?y1y2?t2?(t?2)p?0
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t2 ?p?f(t)?
t?2 又p?0，4t?p?4?0得函数f(t)的定义域是 (?2，0)?(0，??)
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p （1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A
?4(a?p)?4a2?0?（x1,y1）,B(x2,y2)，则?x1?x2?2(a?p),又y1=x1-a,y2=x2-a,
?2?x1x2?a?|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?2[(x1?x2)2?4x1x2]?8p(p?2a)?0?|AB|?2p,8p(p?2a)?0,?0?8p(p?2a)?2p, 解得:
?pp?a??. 24(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：
x3?x1?x22?a?p, y3?y1?y2(x1?a)?(x2?a)??p. 222P，所以S
△
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=
NAB=
122|AB|?|QN|?p?|AB|?p?2p?2p2,即△NAB面积的最大值为2P2。 222
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对
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