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《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案）
一、单项选择题
1、设z?ye，则dz(1,1)? 答（ A ） （A）e(dx?3dy) （B）e(dx?3dy)（C）e(dx?2dy) （D）e(dx?2dy) 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法）
因为 zx?y3exy , zy?2yexy?xy2exy，得 zx(1,1)?e , zy(1,1)?3e， 所以 dz(1,1)?zx(1,1)dx?zy(1,1)dy?edx?3edy?e(dx?3dy)
2、设方程2x?2y?3z?yz?0确定了函数z=z（x，y），则
2222xy
?z ? 答（ B ）
?x（A）
4x4x （B）
6z?yy?6z （C）
4y4y （D）
6z?y6z?y解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x求导得 4x?6z
3、平面Ax?By?Cz?D?0过y轴，则 答（ C ） （A）A=D=0 （B）B=0，D?0 （C）B?0,D?0 （D）C=D=0 解 （知识点：平面Ax?By?Cz?D?0中的系数是否为零与平面位置的关系）
由平面Ax?By?Cz?D?0过y轴知平面平行于y轴 ?B?0. 平面过原点 ?D?0，所以有 B?0,D?0， 选（C）.
?z4x?z?z ??y?0，解得
?xy?6z?x?xwelcome
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4、 设u?xy，则
?u?x? 答（ A ）
(0,0)（A）等于0 （B）不存在 （C）等于?1 （D）等于1 解： （知识点：偏导数的定义）
?u?x?lim(0,0)Vx?0f(0??x,0)?f(0,0)0?lim?0 ，所以选（A） Vx?0?x?x
5、极限 limsinxy? 答（ C ）
x?0xy?0（A）不存在 （B）1 （C）0 （D）? 解： （知识点：二重极限的概念、极限的四则运算性质、重要极限limsinx?1的运用）
x?0xsinxysinxy?lim?y?0?1?1， 所以选（C）
x?0x?0xxylimy?0y?0
二、填空题
1、设函数z?sinyln(x?y)，则
22?z? ?y解：（知识点：偏导数的概念、偏导数的计算方法）
2y?z22?siny?2?cosyln(x?y) ?yx?y22、改变积分?dx1elnx0e1lnx0?f(x,y)dy的积分次序，?dx?f(x,y)dy =
解：（知识点：化二重积分为二次积分、交换二次积分积分次序的方法）
因为 ?dx1elnx0?f(x,y)dy???f(x,y)dxdy，其中 D?{(x,y)1?x?e,0?y?lnx}，
Delnx0所以有 ?dx1?f(x,y)dy???f(x,y)dxdy=?dy?f(x,y)dx
D0ey1errrr3、设a?{?2,1,3},b?{2,?1,3}，则2a?5b?
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解：（知识点：向量的坐标运算方法）
rr2a?5b?2{?2,1,3}?5{2,?1,3}?{?4,2,6}?{10,?5,15}?{6,?3,21}
4、函数z?ln(y?x)?arcsiny 的定义域为 x解：（知识点：函数的定义域的概念及确定方法）
为使表达式z?ln(y?x)?arcsin?y?x?0,y有意义 xy?1?y?x,y?x， x所以函数的定义域为 x?y??x
5、 设 (a,^b)?rr?r3rrr,a?3,b?4，则 (?2a)?b?
解：（知识点：外积的概念及运算性质）
?rrrrrrrr(?2a)?b?2a?b?2absin(a,^b)?2?3?4?sin?123 3
三、解答下列各题 1、求微分方程 xdy?ylny 的通解。 dx解：（知识点：通解得概念、求解一阶可分离变量方程的方法）
分离变量得
dy1?dx， 两边积分有 ln(lny)?lnx?lnc， ylnyxcx所以方程的通解为： y?e。
2、计算二重积分：??(3x?2y)d?， 其中D是由曲线y?x及直线y=1所围成的区域。
D2解：（知识点：二重积分对称性、奇偶性性质在计算二重积分中的应用，直角坐标系下化二
重积分为二次积分的计算方法）
15184(3x?2y)d??22yd??4dxydy?2(1?x)dx?2(x?x)0? ???????55DD100x2welcome
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3、设u?f( xy?u?u , )，其中f 为可微函数 ，求,。
?y?xy2z解：（知识点：多元复合函数求偏导数的链式法则的运用）
?u1??y?f'.?f1'?3?f2'???13， ?x?x?z?yy?u2x12x1.?f1'(?3)?f2'()??3f1'?f2'。 ?yzzyy
?2uxy4、设 u?，计算 2?yx?y解：（知识点：二阶偏导数的概念、计算方法）
?ux?y?yx2?2u?22x22?x???? ， 2?x? ?y(x?y)2(x?y)2?y(x?y)3(x?y)3
5、求过点M(0,1,?2)且平行于直线
x?1y?1z?3??的直线方程。 2?11解：（知识点：直线方程的概念、直线的点向式方程） 因为所求直线与已知直线
rx?1y?1z?3??平行，所以所求直线的方向为l?{2,?1,1}。 2?11又直线过点M(0,1,?2)，根据直线的点向式方程，所求直线为
xy?1z?2?? 2?11
6、设u?ex?2y,x?sint,y?t3，求
du。 dt解：（知识点：全导数的概念、多元复合函数求偏导数公式）
du?udx?udyx?2yx?2y22sint?2t3 ?????ecost?e?(?2)?3t?(cost?6t)edt?xdt?ydt
2x2四、求函数z?e(x?y?2y)的极值。
解：（知识点：极值的概念、极值点的必要条件、极值的充分条件）
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22x??fx(x,y)?(2x?2y?4y?1)e?0,1令? 解得函数的驻点 (,?1)。 2xfy(x,y)?2(y?1)e?02??22x2x2x 又由 fxx(x,y)?4(x?y?2y?1)e,fyy(x,y)?2e,fxy(x,y)?fxy(x,y)?4(y?1)e
fxx1得黑塞行列式 H(,?1)?fyx2fxyfyy1(,?1)22e0??4e2?0。 02e1212e2又由fxx(,?1)?2e?0，根据极值点的充分条件，函数在点(,?1)处取得极小值f(,?1)??
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华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(1)(答案)
