2020届四川省棠湖中学高三上学期
第二次月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 号贴在答题卡上的指定位置。
位 封座2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
密 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
号一、单选题
不场考1．已知??,??∈R，复数??+????=2??
1+??，则??+??= A． -2 B． 1 C． 0 D． 2
2．设集合??={?3,?2,?1,0,1,2}，??={??|??2+2???3≤0}，则??∩??= 订 A． {0,1,2} B． {?2,?1,0} C． {?1,0,1} D． {?3,?2,?1,0,1}
3．已知等差数列{?? ??}的前??项和为????，??1=9，??
9
??59?
5
=?4，则????取最大值时的??为
装 号A． 4 B． 5 C． 6 D． 4或5
证考4．某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为1的等腰直角三角形，则准该四棱锥的表面积为
只 卷 名姓
此 A． 3+√2 B． 2+√2 C． √2+1 D． 1
3
5．“(1
??
2)<
(1
2)??”是“lg??
>lg??”的
A． 充分不必要条件 B． 充要条件
级班
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
6．已知随机变量??服从正态分布??(??,??2)，若??(??<1)=??(??>5)=0.15，则??(1≤??≤3)等
于
A． 0.35 B． 0.3 C． 0.5 D． 0.7 7．已知??满足cos??=2√2??
3，则cos(??
4
+??)cos(4???)=
A．
718
B．
257
2518
C． ?18
D． ?18
8．设奇函数f (x )的定义域为R , 且??(??+4)=??(??), 当x∈[4,6]时f (x)＝2??+1, 则f (x )在区间[?2,0]上的表达式为
A． ??(??)=2??+1 B． ??(??)=?2???+4?1 C． ??(??)=2???+4+1 D． ??(??)=2???+1
9．△ABC所在平面上一点P满足????????? +????????? +????????? =????????
? ，则△PAB的面积与△ABC的面积之比为
A． 2∶3 B． 1∶4 C． 1∶3 D． 1∶6
10．已知两点??(??,0),??(???,0)(??>0)，若曲线??2+??2?2√3???2??+3=0上存在点??，使得∠??????=90°，则正实数??的取值范围为
A． (0,3] B． [1,2] C． [2,3] D． [1,3]
11．已知??是椭圆??:??2
??2
??2+??2=1(??>??>0)的左焦点，经过原点的直线??与椭圆??交于??，??两点，若|????|=2|????|，且∠??????=120°，则椭圆??的离心率为
A． 1
1
√2
3 B． 2 C．
√3
3
D．
2
12．已知偶函数??(??)={|log??(8?4??|,0
2|??|在
区间[?2018,2018]的零点个数为
A． 2020 B． 2016 C． 1010 D． 1008
二、填空题
2??+3???3≤0
13．设??，??满足约束条件{2???3??+3≥0 ，则目标函数??=2?????的最小值是_______
??+3≥014．二项式(3???1
6??)的展开式中常数项为______. （用数字表达）
15．若直线??=??+??与曲线??=3+√4?????2有公共点，则??的取值范围是______
16．已知??,??,??分别为????????的三个内角??,??,??的对边，??=6，且????cosB=??2???2+√74
????，??为????????内一点，且满足????? ????+????? ????+????????? =? 0,∠??????=300，则|????
????? |=__________．
三、解答题
17．已知在????????中，角??、??、??的对边分别是??、??、??， ??=(2cos??,??cos??+??cos??)， ??=(??,?1)，且??⊥??.
（1）求角??；
（2）若边长??=3，求????????周长的最大值.
18．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同不（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表：（单位：人）
几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为??，求??的分布列及数学期望??(??).
附表及公式 ??(??2≥??) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ?? 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ??2=
??(?????????)2
(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)
. 19．如图，已知四棱锥???????????的底面为菱形，且∠??????=60°，??是????中点. （Ⅰ）证明：????//平面??????；
（Ⅱ）若????=????，????=????=√2????，求平面??????与平面??????所成二面角的正弦值.
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20．设抛物线??:??2=2????(??>0)的焦点为??，准线为??.已知以??为圆心，半径为4的圆与??交于??、??两点，??是该圆与抛物线??的一个交点，∠??????=90°.
（1）求??的值；
（2）已知点??的纵坐标为?1且在??上，??、??是??上异于点??的另两点，且满足直线????和直线????的斜率之和为?1，试问直线????是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.
21．已知函数??(??)=????sin??. （Ⅰ）求函数??(??)的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的??∈[0,??
2]，??(??)≥????恒成立，求实数??的取值范围；
（III）设函数??(??)=??(??)+????cos??， ??∈[?
2015??,
2017??2
2
]，过点??(
???12
,0)作函数??(??)的图象
的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{????}，求数列{????}的所有项之和的值.
22．在直角坐标系??????中，圆??的参数方程为{??=2+2cos????=2sin??
（??为参数），以??为极点，??轴的
非负半轴为极轴建极坐标系，直线??的极坐标方程为??(sin??+√3cos??)=√3.
（Ⅰ）求??的极坐标方程；
（Ⅱ）射线????:??=??1(??
??
6≤??1≤3)与圆C的交点为??,??与直线??的交点为??，求|????|?|????|的范围．
23．已知??>0，??>0，??2+??2=??+??．证明： （Ⅰ）(??+??)2≤2(??2+??2)；
（Ⅱ）(??+1)(??+1)≤4．
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2020届四川省棠湖中学高三上学期
第二次月考数学（理）试题
数学 答 案
参考答案 1．D 【解析】
分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值． 详解：因为2i2i(1?i)
1+i=(1+i)(1?i)=1+i=??+??i， 所以??=1,??=1， 即??+??=2.故选D．
点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力． 2．D 【解析】 【分析】
根据二次函数不等式的解法得到集合B，再根据集合交集的概念得到结果. 【详解】
集合??={?3,?2,?1,0,1,2},??={??|??2+2???3≤0}= {??|?3≤??≤1}，则??∩??={?3,?2,?1,0,1}.
故答案为：D. 【点睛】
高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．
3．B 【解析】
由{????}为等差数列，所以??
9
??59?
5
=??5???3=2??=?4，即??=?2，
由??1=9，所以????=?2??+11， 令????=?2??+11<0，即??>
112
，
第13页（共14页） 所以????取最大值时的??为5， 故选B． 4．B 【解析】
如图，由三视图可知，四棱锥即为边长为1的正方体上的四棱锥???????????， 则四棱锥???????????的表面积为2+√2， 故选B．
点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
5．C 【解析】 【分析】
根据条件得到“(1
2)??<(1
2)??”，当a和b小于0时，不能推导出lg??>lg??，反之根据函数的单调性由lg??>lg??一定能得到(1
1
2)??<(??2).
【详解】
由“(1
)??<(1
)??”构造函数y=(1
2
2
2
)??是减函数，当a和b小于0时，不能推导出lg??>lg??；反之
lg??>lg??，则一定有a>b,函数y=(1??1111
2)是减函数，一定有“(2)??<(??2),故“(2)??<(2)??”是“lg??>lg??”的必要不充分条件.
故答案为：C. 【点睛】
判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则
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命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
6．A 【解析】 【分析】
由已知可得P（1≤??≤5）=1﹣P（??<1）﹣P（??>5）=0.70，再由对称性可得P（1≤??≤3）的值．
【详解】
由随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（??<1）=P（??>5）=0.15， 可得μ=3，且P（1≤??≤5）=1﹣P（??<1）﹣P（??>5）=1﹣0.15﹣0.15=0.70， ∴P（1≤??≤3）=1
2P（1≤??≤5）=0.35． 故答案为：A． 【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
7．A 【解析】 【分析】
根据两角和差的余弦公式得到原式可化为1
1
2
2
2(cos???sin??)(cos??+sin??)=2(cos???sin??)，代入余弦值求解即可.
【详解】
根据两角和差的余弦公式得到cos(??
??
1
4+??)cos(4???)= 2(cos???sin??)(cos??+sin??)=
1
2√212
(cos2???sin2??)，因为cos??=3
,得到sin??=3或?17
3代入得到结果为18.
故答案为:A. 【点睛】
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=??????α
a??????x+b??????x
2??????α;形如c??????x+d??????x,asinx+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan??
4等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.
8．B
第11页（共14页） 【解析】 【分析】
由f（x+4）=f（x），可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围[﹣2，0]转化到[4,6]上，则f （x ）在区间[?2,0]上的表达式可求．
【详解】
当x∈[?2,0]时，﹣x∈[0，2]， ∴﹣x+4∈[4，6]，
又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1， ∴f（﹣x+4）=2
﹣x+4
+1．
又∵f（x+4）=f（x）， ∴函数f（x）的周期为T=4， ∴f（﹣x+4）=f（﹣x）， 又∵函数f（x）是R上的奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴﹣f（x）=2
﹣x+4
+1，
∴当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣2﹣x+4
﹣1．
故选：B． 【点睛】
本题综合考查函数的周期性、奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内.
9．C 【解析】
试题分析：由已知得，????????? +????????? +????????? =????????? =????????? +????????? ，解得????????? =2????????? ，所以|????????? |=2|????????? |，作图如下：
第12页（共14页）
设点?到线段
的距离是，所以
.
考点：向量的线性运算 10．D 【解析】
分析：由∠??????=90°可以得到??在圆??2
+??2
=??2
，此圆与题设中的圆至少有一个公共点，所以两圆位置关系是相交或相切，利用圆心距小于等于半径之和且大于等于半径之差的绝对值可得??的取值范围．
详解：因为∠??????=90°，所以点??在圆??2+??2=??2，
又点??还在圆(???√3)2
+(???1)2=1，故|???1|≤2≤??+1， 解不等式有1≤??≤3，故选B．
点睛：此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果??,??为定点，且动点??满足????=??????(??≠1)，则动点?? 的轨迹为圆； （2）如果????????中，????为定长，??为定值，则动点??的轨迹为一段圆弧． 11．C 【解析】
在????????中，设|????|=2|????|=2??, ??(??1,??1),??(???1,???1),右焦点E,由椭圆的对称性，知????????是平行四边形，所以在????????中，由余弦定理得????2=5??2?2??2=3??2=4??2,????+????=2??=3??,??=2
√33??,??=
3
，选C.
【点睛】
本题的关键是要看到椭圆的对称性把????????，转化到焦点????????中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。
12．A 【解析】
依题意，当4
第13页（共14页） 由??(???8)=??(??)可知，函数??(??)的周期??=8 令??(??)=0，可得??(??)=
12|??|
求函数??(??)=??(??)?1
1
2|??|的零点个数，即求偶函数??(??)与函数??=2|??|图象交点个数 当0
12|??|图象有4个交点
∵2018=252×8+2
由??(2)=|??????42|=1
1
1
2>2|2|=4知，
当0
2|??|图象有2个交点 故函数??(??)的零点个数为(252×4+2)×2=2020 故选??
点睛：本题考查了函数的零点个数问题，先运用函数的周期性和对称性，求解出函数解析式并画出函数图像，结合函数是偶函数，只需要计算正方向的交点即可，运用了数形结合的思想，综合性较强。
13．?9 【解析】 【分析】
先根据条件画出可行域，设z=2x-y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x-y，过可行域内的点A（﹣6，﹣3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
【详解】
2??+3???3≤0
x，y满足约束条件{2???3??+3≥0 的可行域如图：
??+3≥0
在坐标系中画出可行域△ABC，A（﹣6，﹣3），B（0，1），C（6，﹣3），
由图可知，当x=﹣6，y=﹣3时，则目标函数z=2x-y的最小，最小值为﹣9． 故答案为：﹣9．
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【100所名校】2020届四川省棠湖中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(含解析版)
