高考数学复习 课时规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示
基础巩固组
1.已知向量a=(2,3),b=(cos θ,sin θ),且a∥b,则tan θ= A.
B.-
C.
D.-
( )
2.已知点A(0,1),B(3,2),向量A.(10,7) C.(-4,-3)
B.(10,5) D.(-4,-1)
=(-7,-4),则向量=( )
3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,2) C.(-∞,+∞)
B.(2,+∞)
D.(-∞,2)∪(2,+∞)
4.在△ABC中,D为AB边上一点,A.
+λC.2
,则λ=( )
-1 B. -1 D.2
5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λμ=( )
A.-3
B.3
C.-4
D.4
6.如图,已知,用表示,则等于( )
A.
B.
1
C.-
D.-
7.在△ABC中,点P在边BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于
( ) A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7)
D.(6,-21)
8.在△OAB中,=a,=b,=p,若p=t,t∈R,则点P在( )
A.∠AOB平分线所在直线上 B.线段AB中垂线上 C.AB边所在直线上 D.AB边的中线上
9.已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t= .
10.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|= . 11.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.
12.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
2
综合提升组
13.(2024河北衡水金卷调研五)已知直线2x+3y=1与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,与直线
x+y=0交于点C,若
A.λ=2,μ=-1 C.λ=-2,μ=3
=λ+μ(O为坐标原点),则λ,μ的值分别为( )
B.λ=4,μ=-3 D.λ=-1,μ=2
14.在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且
||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为( )
A. B.3 C. D.
15.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 .
创新应用组
16.(2024辽宁重点中学协作体模拟)已知△OAB是边长为1的正三角形,若点P满足
=(2-t)+t(t∈R),则||的最小值为( )
A.
B.1 C. D.
参考答案
课时规范练25 平面向量基本定理及
向量的坐标表示
1.A 由a∥b,可知2sin θ-3cos θ=0,解得tan θ=,故选A. 2.C 由点A(0,1),B(3,2),得
又由
=(3,1).
=+=(-4,-3).故选C.
=(-7,-4),得
3.D 由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.
4.B 由已知得=,则=+=+=+ (-)=+,故λ=.
3
5.A 设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则=(2,-2),=(1,2),=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即解得所以λμ=-3.故选A.
6.C =+=+=+ (
-)=-+,故选C.
7.B 如图,=3
=3(2
-)=6
-3
=(6,30)-(12,9)=(-6,21).
8.A ∵和是△OAB中边OA,OB上的单位向量,
∴在∠AOB平分线所在直线上,
∴t在∠AOB平分线所在直线上,
∴点P在∠AOB平分线所在直线上,故选A.
9.-1 根据题意,a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2),
∵(a+b)∥(a-b),∴(1+t)×(-2)-(1-t)×0=0,解得t=-1,故答案为-1.
10. |b|==.
由λa+b=0,得b=-λa, 故|b|=|-λa|=|λ||a|,
所以|λ|===.
4
11.(-1,1)或(-3,1) 由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),故a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1). 12.解 (1)由题意,得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
所以得
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.
∴k=-.
13.C 在直线2x+3y=1中,令x=0得y=,
即B,令y=0,得x=,
即A,联立
解得所以C(-1,1).
因为
=λ+μ,
所以(-1,1)=λ+μ,
所以选C.
14.C 因为
=λ+μ,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,
所以λμ≤=,
当且仅当λ=μ=时取等号,此时=+ ,
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