第2讲 导数在研究函数中的应用
第1课时 导数与函数的单调性
一、选择题
1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为
( )
A．(0,1) C．(1，＋∞)
B．(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
1x－1
解析 函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－x＝x，令f′(x)<0，解得0 所以单调递减区间是(0,1)． 答案 A 2．(2015·陕西卷)设f(x)＝x－sin x，则f(x) ( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 解析 因为f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B. 答案 B 3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是 ( ) A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d) 解析 依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a 4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为 ( ) A．(－∞，2) 5?? C.?－∞，2? ?? 解析 ∵f′(x)＝6x2－6mx＋6， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立， 1 即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋x恒成立． 11 令g(x)＝x＋x，g′(x)＝1－x2， ∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增， 15 ∴m≤2＋2＝2. 答案 D 5．(2017·上饶模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为 ( ) A．(－1,1) C．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞) B．(－∞，2] 5?? D.?－∞，2? ?? 解析 由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x) －2， 因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增． 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1. 答案 B 二、填空题 6．已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________． 解析 因为f(x)＝(－x2＋2x)ex， 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， 因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－2 1 7．已知函数f(x)＝－2x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________． ?x－1??x－3?3 解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－x＝－，由f′(x)＝0得函数f(x) x的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1 8．(2017·武汉模拟)已知f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________． 2 解析 由f(x)＝2ln x＋x－5x＋c，得f′(x)＝x＋2x－5， 2 又函数f(x)在区间(m，m＋1)上为递减函数， ∴f′(x)≤0在(m，m＋1)上恒成立， 2??m＋2m－5≤0，∴?2 ＋2?m＋1?－5≤0，?m＋1??1? 答案 ?2，1? ??三、解答题 9．已知函数f(x)＝ ln x＋k ex(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1， 1 解得2≤m≤1. f(1))处的切线与x轴平行． (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间． 1 x－ln x－k 解 (1)由题意得f′(x)＝， ex1－k 又f′(1)＝e＝0，故k＝1. 1 x－ln x－1 (2)由(1)知，f′(x)＝. ex111 设h(x)＝x－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－x2－x<0， 即h(x)在(0，＋∞)上是减函数． 由h(1)＝0知，当0 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． ?2? 10．已知函数f(x)＝x＋ax－x＋c，且a＝f′?3?. ?? 3 2 (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围． 解 (1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c， 得f′(x)＝3x2＋2ax－1. 22?2??2?2 ????当x＝3时，得a＝f′3＝3×3＋2a×3－1， ????解得a＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c， ?1? 则f′(x)＝3x2－2x－1＝3?x＋3?(x－1)，列表如下： ?? x f′(x) f(x) 1???－∞，－3? ??＋ 递增 ?1??－3，1? ??－ 递减 (1，＋∞) ＋ 递增 1?? 所以f(x)的单调递增区间是?－∞，－3?和(1，＋∞)； ???1? f(x)的单调递减区间是?－3，1?. ?? (3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex， 有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex ＝(－x2－3x＋c－1)ex， 因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增， 所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立，只要h(2)≥0，解得c≥11， 所以c的取值范围是[11，＋∞)． 11．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－?1?1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f?2?，c＝f(3)，则 ?? ( ) A．a B．c
导数与函数的单调性练习含答案
