解：设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h（1）=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h（2）=3=22-1；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h（3）=h（2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h（4）=h（3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …
h（n-1）+1=2n-1， 以此类推，h（n）=h（n-1）×
n
故答案为：7；2-1．
17.【答案】解：（1）数列{an}满足an+1= ，
所以： ， 故：
（常数），
故：数列{an}是以a1-3=4-3=1为首项， 为公比的等比数列． 则： ，
故： （首项符合通项）． （2）由于： ，
故： ， =
，
根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．
= ． 【解析】
（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．
本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和在数列求和中的应用，主要考
题的关键． 16.【答案】
【解析】
察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 18.【答案】解：（1）
u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03≈103． （2）（i）设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为x1， 则P（x＞x1）=1-φ（∴φ（
解：由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD==3，
可得四面体的外接球的半径R=，
3
可得四面体的外接球的体积为V=π?（）=
）=0.4，
=0.7257，解得x1≈117．
）=0.6，∴
．
∴本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是117分．
（ii）由题意可知Y～B（4， ），∴P（Y=k）= ?（ ）（1- ），k=0，1，2，3，4．
k
4-k
故答案为：．
∴Y的分布列为： Y P
由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD，求出半径，即可求出四面体的外接球的体积
本题考查四面体的外接球的体积，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于基础题．
0 1 2 3 4 =． ∴E（Y）=4× 【解析】
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（1）根据加权平均数公式计算； （2）（i）令
=0.7257计算x1的值；
（ii）根据二项分布的概率公式得出Y的分布列和数学期望． 本题考查了频率分布直方图，二项分布列与数学期望，属于中档题． 19.【答案】解：
（1）
证明：
如图，取PD 中点E，连接EN，AE． ∵M，N，E为中点，
∴EN∥CD∥AM，EN=
=AM， ∴AMNE是平行四边形， ∴MN∥AE，
∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥CD， 又∵CD⊥AD， ∴CD⊥面PAD， ∴CD⊥AE，
∵PA=AD，E为中点， ∴AE⊥PD， ∴AE⊥面PCD， ∴MN⊥面PCD；
（2）建立如图所示坐标系， 设PA=AD=2，AB=2t，
则A（0，0，0），B（2t，0，0），C（2t，2，0）， D（0，2，0），P（0，0，2）， M（t，0，0），N（t，1，1）． ∴
， ， ， ， ， ， ∵直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 ，
且由（1）知MN⊥面PCD， ∴
，解得t=2．
∴M（2，0，0），N（2，1，1），
， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ⊥平面NMD，
由 得
，
取 ， ， ， ，
∵AP⊥面CMD，
， ， ， 设二面角N-MD-C为θ，θ为锐角， 则
=
， ∴
．
∴二面角N-MD-C的正弦值为 ．
【解析】
（1）取PD的中点E，则AMNE为平行四边形，然后去证AE⊥平面PCD，进而得MN⊥平面PCD；（2）以A为原点建立空间坐标系，利用直线PB与平面PCD所成角，可确定各点的坐标，进而通过公式求得二面角的余弦值，正弦值．
此题考查了线面垂直，二面角的向量求法，难度适中．
20.【答案】解：（1）由动点M（x，y）满足 ，
可得动点M到点（2 ，0），（-2 ，0）的距离之和为常数，且4 ＜6， 故点M的轨迹为椭圆，且2c=4 ，2a=6， 则a=3，c=2 ，
则b2=a2-c2
=9-8=1，
故椭圆的方程为
+y2
=1．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组
，消y可得（9k2+1）x2-36 k2x+9（8k2-1）=0， 则△=（-36 k2）2-36（8k2-1）（9k2+1）=36（k2
+1）＞0，
∴x= 2= 1
，x
∵
， ∴（2 -x1，-y1）=λ（x2-2 ，y2）， ∴2 -x1=λ（x2-2 ）， ∴2 -
=λ（
-2 ），
即3 +2 =λ（3 -2 ）
令3 =t，
∴t+2 =λ（t-2 ），
∴t=
=2 （1+
）， 第7页，共9页
∵t=2 （1+ ）在λ∈（1，2）上为减函数， ∴t∈（6 ，+∞）， ∴3 ＞6 ， 2
∴k＞7，
∴k＞ 或k＜- ，
故k的范围为（-∞，- ）∪（ ，+∞）． 【解析】
区间，最后通过极值g（x1），g（x2）的正负判断出零点的个数．
本题主要考查函数的单调性、极值、零点等概念，合理转化是解题的关键，属于较难题目． 22.【答案】解：（1）曲线曲线C1的方程为（x-1）2+y2=1，
转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ．
C2的方程为x+y=3，转换为极坐标方程为：
（1）根据题意可得故点M的轨迹为椭圆，且2c=4（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出x1，x2，根据），令3的范围．
本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，考查向量知识的运用，函数的单调性，属于中档题． 21.【答案】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，1）时：f'（x）＞0，所以f（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时：f'（x）＜0，所以f（x）单调递减； （2）由题意得：g'（x）=lnx+1-ax=0有两个不同的零点，即由（1）得
．
，2a=6，即可求出标准方程，
可得3
+2
=λ（3
-2
（2）C3是一条过原点且斜率为正值的直线， C3的极坐标方程为θ=α， ∈ ，
联立C1与C3的极坐标方程
得ρ=2cosα， 即|OA|=2cosα．
联立C1与C2的极坐标方程
得 ， 即 所以： =
，
=t，可得t=2（1+），根据函数的单调性即可求出t的范围，则可求出k
，
，
有两个不同的根设为x1＜x2；
又 ∈ ， ，
所以 ∈ ， ． 【解析】
，当x∈（0，1）时f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时f（x）单调递减；
f1）=1当x∈+∞）fx）1）有 ，（（1，时（＞0，所以a∈（0，时有0＜x1＜1＜x2使（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递减，在（x1，x2）单调递增，
现只需比较g（x1），g（x2）的正负进而确定零点个数．
且 有
且 ；
，
且函数g
（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 23.【答案】证明：（1）因为 + + =
时等号成立，
（2）因为为 + + = （ + + + + + ）≥ ×（2 +2 +2 ），
++=+ +1+ + +1+ ++1=+ + + ++ +3≥9，当
令
则
所以函数h（t）在（0，+∞）上单调增，所以0＜x1＜1时g（x1）=h（x1）＜h（1）=0，
x2＞1时g（x2）=h（x2）＞h（1）=0
又x→0时 ＞ ，x→+∞时g（x）→-∞， 所以函数有三个零点． 【解析】
a=b=c
（1）先确定f（x）的定义域，通过求导数解出其单调区间；
（2）利用函数g（x）有极值，判断a的取值范围，进而确定极值点的大小关系，得到g（x）的单调
又因为abc=1，所以 =c， =b， =a， ∴ ．
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当a=b=c时等号成立，即原不等式成立． 【解析】
（1）根据a+b+c=1，利用基本不等式的即可证明，
（2）根据++=（+++++），利用基本不等式即可证明．
本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．
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2019年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)(全国)(解析版)
