第三章 分离变量法
3。2 基础训练
3.2.1 例题分析
例1 解下列定解问题：
???2u22?u??t2?a?x20?x?l,t?0 ??u?u?x?0?0,?x?0 x?l??2?u?ut?0?x?2lx,?t?0t?0解：分离变量，即令
u(x,t)?X(x)T(t) 代入方程（（1）中第一式），得
T??(t)??a2T(t)?0 X??(x)??X(x)?0 其中?为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得
X(0)?X?(l)?0 相应的本证值问题为求
??X??(x)??X(x)?0?X(0)?X?(l)?0 的非零解．下面针对?的取值情况进行讨论：
（1）当??0时，（6）式中方程的通解是 X(x)?Ae???x?Be??x 其中A，B为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得
???A?B?0???Ae???l?Be??l?0 由（8）得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故不可能有??0。
(2) 当??0时，（6）式中方程的通解是 X(x)?Ax?B
由边界条件得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故也不可能有??0。 （3）当 ???2?0时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
1）2） 3）4）5）6）7）（8） （ （ （
（
（
（ （
X(x)?Acos?x?Bsin?x
代入条件（6）中边界条件，得
A?0,Bcos?l?0
由于 B?0，故 cos?l?0，即
??从而得到一系列固有值与固有函数
2n?1?2l(n?0,1,2,?)
(2n?1)2?2?n? 24lXn(x)?Bnsin(2n?1)?x(n?0,1,2,?) 2l(n?0,1,2,?)
与这些固有值相对应的方程（3）的通解为
?cosTn(t)?Cn(2n?1)?a(2n?1)?a?sint?Dnt2l2l于是，所求定解问题的解可表示为
(2n?1)?a(2n?1)?a?(2n?1)??u(x,t)???Cncost?Dnsint?sinx
2l2l2l?n?0??利用初始条件确定其中的任意常数Cn,Dn，得
Dn?0
2l2(2n?1)?Cn??(x?2lx)sinxdxl02l 232l??(2n?1)3?3故所求的解为
u(x,t)??32l2?31(2n?1)?a(2n?1)??costsinx ?3(2n?1)2l2ln?0?
例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l，被拨开的点在弦长的解定解问题
1(n0为正整数)处，拨开距离为h，试求解弦的振动，即求n0
北邮数理方程课件 第三章 分离变量法
