2011年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
5?3?,]，则1?sin2??1?sin2?可化简为（ D ） 42A．2sin? B. ?2sin? C. ?2cos? D. 2cos?
5?3?,]，所以1?sin2??1?sin2?=cos??sin??cos??sin? 解答：因为??[42s。正确答案为D。 ?2co?1. 已知??[2．如果复数?a?2i??1?i?的模为4，则实数a的值为（ C ）
A. 2 B. 22 C. ?2 D. ?22
解答：由题意得2?a2?4?4?a??2。正确答案为C。
3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：x?A?B， 命题q：x?A或x?B，则p是q
的（ B ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。
x2?y2?1的右焦点F2作倾斜角为45?弦AB，则AB为（ C ） 4. 过椭圆2A.
26464243 B. C. D. 3333解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为y?x?1,代入椭圆方程得
3x2?4x?0?x1?0,x2?442?AB?2(x1?x2)2?。正确答案为C。 33，则该函数为（ A ）
?1?5?x5. 函数f(x)??x?5?1x?0x?0A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
2
2
2
2
2 2 3
1
1
正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+
5?3?? B. 4+ C. 4+ D. 4+? 222解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（积为2?2?1?3???），所以该几何体的体2?2?4?5?。正确答案为A。 27．某程序框图如右图所示，现将输出（x,y)值依 次记为：(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),?;若程序运行中 输出的一个数组是 (x,?10),则数组中的x?（ B ） A．64 B．32 C．16 D．8 答案 经计算x?32。正确答案为 B。
8. 在平面区域(x,y)|x|?1,|y|?1上恒有ax?2by?2，则动点
??P(a,b)所形成平面区域的面积为（ A ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
解答：平面区域(x,y)|x|?1,|y|?1的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足ax?2by?2，即有
??a?2b?2,a?2b?2,?a?2b?2,?a?2b?2
由此计算动点P(a,b)所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。
9. 已知函数f(x)?sin(2x?????
)?m在?0,?上有两个零点，则m的取值范围为（ C ） 6?2?
A. ?, 1? B ?, 1? C. ?, 1? D. ?, 1? ?2??2??2??2?解答：问题等价于函数f(x)?sin(2x??1??1??1??1?????
)与直线y?m在?0,?上有两个交点，所以m的取值6?2?
范围为?, 1?。正确答案为C。
10. 已知a?[?1,1]，则x2?(a?4)x?4?2a?0的解为（ C ）
A. x?3或x?2 B. x?2或x?1 C. x?3或x?1 D. 1?x?3 解答：不等式的左端看成a的一次函数，f(a)?(x?2)a?(x2?4x?4) 由f(?1)?x2?5x?6?0,f(1)?x2?3x?2?0?x?1或x?3。 正确答案为C。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11. 函数f(x)?2sin?1?2??x?3cosx的最小正周期为______4?____。 2解答：最小正周期为4?。
12. 已知等差数列?an?前15项的和S15=30，则a1?a8?a15=____6_______. 解答：由S15?30?a1?7d?2，而a1?a8?a15?3(a1?7d)?6。
????13. 向量a?(1,sin?)，b?(cos?,3)，??R，则a?b的取值范围为 [1，3] 。
??22解答：a?b?(1?cos?)?(sin??3)?5?2(cos??3sin?) =5?4sin(?6??) ，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 直三棱柱ABC?A1B1C1，底面?ABC是正三角形，P，E分别为BB1，CC1上的动点（含端
?点），D为BC边上的中点，且PD?PE。则直线AP,PE的夹角为_90_。
解答：因为平面ABC⊥平面BCC1B1，AD⊥BC，所以AD⊥平面BCC1B1，所以 AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为90。
?15．设x,y为实数，则
5x?4y?10x22max(x?y)?_____4________。 22解答：5x2?4y2?10x?4y2?10x?5x2?0?0?x?2
4(x2?y2)?10x?x2?25?(5?x)2?25?32?x2?y2?4
16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，
300但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___C1710_______
种。（用组合数符号表示）
300解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有C1710种关灯方法。
17. 设x,y,z为整数，且x?y?z?3,x3?y3?z3?3，则x2?y2?z2?_3或57_。 解答：将z?3?x?y代入x3?y3?z3?3 得到
xy?3(x?y)?9?8，因为x,y都是整数，所以 x?y?x?y?1?x?y?4?x?y?2?x?y?8,?,?,?,前两个方程组无解；后两个方程组解得?xy?2xy?5xy?1xy?16????x?y?z?1;x?y?4,z??5。所以x2?y2?z2?3或57。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设a?2，求y?(x?2)x在[a, 2]上的最大值和最小值。
解答：当x?0,y??(x?1)2?1, 当x?0,y?(x?1)2?1, ---- 5分 由此可知 ymax?0。 ---------------------------------- 10分 当1?a?2,ymin?a2?2a；当1?2?a?1,ymin??1； 当a?1?2,ymin??a2?2a。 ---------------------------------- 17分 19. 给定两个数列
?xn?，
?yn?满足x0?y0?1，xn?xn?1 (n?1)，
2?xn?12yn?1yn? (n?1)。证明对于任意的自然数n，都存在自然数jn，使得 yn?xjn。
1?2yn?1 解答：由已知得到：
12111?1???1?2(1?)?{?1}为等比数列，首项为2，公比为2， xnxn?1xnxn?1xn所以
11。 ----------------- 5分 ?1?2n?1?xn?n?1xn2?1(yn?1?1)2y?1yn?1?12112又由已知，yn?1??n?()?1??(1?)
1?2yn?1ynyn?1ynyn?1n1112由1?， ?2?1??2?yn?ny0yn22?1所以取jn?2?1即可。 ------------------- 17分
nx2y220. 已知椭圆2?2?1，过其左焦点F1作一条直线交椭圆于A，B两点，D(a,0)为F1右侧一
54点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 F1，求 a的值。 解答：F1(?3,0),左准线方程为x??25;AB方程为y?k(x?3)(k为斜率)。 3?y?k(x?3)?2设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2 ?(16?2k5x2)?1k520x?y2?1???25162k22?5得4?000150k2225k2?400256k22x1?x2??,x1x2???y1y2?k(x1?3)(x2?3)??----10分 22216?25k16?25k16?25k设M(?2525(3a?25)y1(3a?25)y2,y3),N(?,y4)。由M、A、D共线y3?。 ,同理y4?333(a?x1)3(a?x2)，
得
又
??????????????????????????????1616F1M?(?,y3),F1N?(?,y4),由已知得F1M?F1N?F1M?F1N?033256256k2（3a?25)2y1y2256（3a?25)2?,整理?=y3y4??,而y3y4?，即?2916?25k99(a?x1)(a?x2)9(a?x1)(a?x2)得 (1?k)(16a?400)?0?a??5,又a??3,所以a?5。--------------17分
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2011年浙江省高中数学竞赛试题及参考答案
