3.1.2两条直线平行与垂直的判定
●三维目标 1．知识与技能
(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．
(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法． 2．过程与方法
(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法． (2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法． 3．情感、态度与价值观
(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．
(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣． (3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神． ●重点难点
重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直． 难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．
重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．
●教学建议
本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：直线的平行与垂直同其斜率间分别存在什么关系？?引导学生回忆初中几何知识，先建立倾斜角同平行与垂直间的关系.
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通过引导学生回答所提问题理解斜率同直线的平行与垂直的关系.通过例1及其变式训练，使学生理解直线的平行同其斜率间的关系.
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通过例2及其变式训练，使学生理解直线的垂直同其斜率间的关系.
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借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.?
归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.
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完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
1.理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点) 课标解读 2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点) 3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．(易错点) 【问题导思】 1．若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？ 【提示】 两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立． 2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗？
【提示】 不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在．
两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
前提条件 对应关系 α1＝α2≠90° l1∥l2?k1＝k2 α1＝α2＝90° l1∥l2?两直线斜率都不存在 两条直线平行与斜率之间的关系 图示
两条直线垂直与斜率之间的关系 【问题导思】
1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？ 【提示】 α2＝α1＋90°.
2．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？
【提示】 直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．
两条直线垂直与斜率的关系 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜则l1⊥l2?k1·k2＝－1 率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示
两条直线平行关系的判定 判断下列各组中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可．
1－?－2?－1－45【自主解答】 (1)k1＝＝1，k2＝＝，k≠k，l与l2不平行．
2－?－1?－1－34121
2－1
(2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，
2－1∴l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝
0－10－33－1
＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2，而kMA＝＝－2≠－1， 1－02－?－1?－1－0
∴l1∥l2.
(4)l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.
判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．
已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则x＝________.
【解析】 ∵直线l1的斜率不存在，且l1∥l2， ∴l2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同， ∴x＝2. 【答案】 2
两条直线垂直关系的判定 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
【思路探究】 求出斜率，利用l1⊥l2?k1k2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．
2－?－2?1－?－1?1【自主解答】 (1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，kk
1－?－1?2－?－2?212
＝1，故l1与l2不垂直．
3－21
(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.
20－1010(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． 直线l2的斜率k2＝
40－40
＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2.
10－?－10?
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________． 【解析】 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 30°＝设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1， ∴k2＝－3. 【答案】 －3
直线平行与垂直关系的综合应用 3
， 3
已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，
试判定图形ABCD的形状．
【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．
【自主解答】 A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 kAB＝
5－31
＝，
2－?－4?3
0－31kCD＝＝，
－3－630－3
kAD＝＝－3，
－3－?－4?3－51kBC＝＝－.
26－2
∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD.
3.1.2两条直线平行与垂直的判定 教案
