..
数学与统计学院
w
班 级：姓 名：康萍数 学 综 合 实 验 报 告
2013级数学三班
..
数 值 计 算
一、实验目的
本实验通过介绍Mathmatca的数值计算功能，它的特点是准确计算与数值计算相结合，能够通过可选参数提高计算精度，学习包括数据的拟合及插值、数值积分与方程的近似解、极值问题、最优化与数理统计方面的内容。
二、实验环境
基于Windows环境下的Mathematica7.0软件与Mathematica9.0软件。
三、实验的基本理论和方法
1、 Mathmatica提供了进行数据拟合的函数：
Fit[data,funs,vars] 对数据data 用最小二乘法求函数表funs中各函数的一个线性组合作为所求的近似解析式，其中vars是自变量或自变量的表。
1,x?, x] 求形如y?a?bx的近似函数式。 Fit[data, ?1,x,x2?, x] 求形如y?a?bx?cx2的近似函数式。 Fit[data, ?1,x,y,xy?, ?x,y?] 求形如y?a?bx?cy?dxy的近似函数式。 Fit[data, ?2、 函数InterpolatingPolynomial求一个多项式，使给定的数据是准确的函数值，其调用格式如下：
InterpolatingPolynomial[{f1,f2,?},x] 当自变量为1，2，…时的函数值为
f1,f2,?。
InterpolatingPolynomial[{(x1,f1),(x2,f2),?},x] 当自变量为xi时的函数值为
fi
InterpolatingPolynomial[{{x1,{f1,df1,ddf1,?}},?},x] 规定点xi处的函数值。
3、 求定积分的数值解有两种方法：
w
..
使用N[Integrate[f,{x,a,b}],n]或使用NIntegrate[f,{x,a,b}]前者首先试图求符号然后再求近似解，后者使用数值积分的直接求近似解。究竟选用哪一个，这需要首先了解两者各自的特点。前者首先试图求符号解，当然花费更多的时间，但安全可靠。后者使用数值积分的直接求近似解，节约运行时间，但可靠性就差了。
NIntegrate[f,{x,xmin,xmax},{ y,ymin,ymax},…]是标准形式而且允许积分区间端点是奇异点。如果积分区间内部有奇异点，积分区间内部的奇异点不能被识别，需要明确指出：
NIntegrate[f,{x,xmin,x1,x2,?,xmax}],其中x1,x2,?,是奇异点。 NIntegrate有控制计算精度的可选参数：
WorkingPrecision 内部近似计算使用的数字位数（默认值为16，等于系统变量SMachinePrecision的值）。
AccuracyGoal 计算结果的绝对误差（默认值为Infinity）。
PrecisionGoal 计算结果的相对误差（默认值为Automatic一般比WorkingPrecision的值小10）。
这3个参数都可以缺省或重新设置，后两个值之一可以为Infinity，表示使用该参数，只使用另一个，一般第一个应该大于后两个。
MaxPoints 计算时选取的被积函数的最大样本数（默认值为Automatic）。 MaxRecursion 积分区域递归子划分的最大个数（默认值为6）。 MinRecursion 积分区域递归子划分的最小个数（默认值为0）。
SingularityDepth 积分区间端点处变量变化前使用的递归子划分个数（默认值为4）。
4、 求数值的和、积的函数
w
..
NSum[f,{i,imin,imax,di}] 求通项为f的和的近似值。 NProduct[f, {i,imin,imax,di}] 求通项为f的积的近似值。
5、 函数Nsolve用于求代数方程（组）的全部近似解，其调用格式如下： Nsolve[eqns,vars,n] 其中可选参数n表示结果有n位的精度。
能解类型广泛的方程（组）的是FindRoot，大多数情况下它使用牛顿迭代法，无法求出符号导数时用正割法，其调用格式如下：
FindRoot[eqn,{x, x0}] 从x0出发求未知量x的方程eqn的一个解。
FindRoot[eqn,{x, x0,x,min,xmax}] 如果超出区间[xmin,xmax]则停止寻找。
FindRoot[eqn,{x, {x0，x1}}] 当方程无法求出符号导数时必须给出两个初值
x0，x1。
FindRoot[{eqn1，eqn2,…},{x, x0},{y,y0}, …] 求方程组的一个解。 如果在参数中出现复数，则求复数解。方程的标准形式为方程的右边为0，这时可以输入方程左边的表达式，等号与0都可以省略。
6、 函数FindMinimum寻找一个函数的极小值点，其调用格式如下：
FindMinimum[f,{x,x0}] 从x0出发求未知量x的函数f的一个极小值点和极小
值。
FindMinimum[f,{x,{x0,x1}}]] 当函数无法自动求出符号函数时，必须给出两个初值x0,x1。
FindMinimum[f,{x,x0},{y,y0},?] 求多元函数的一个极小值点和一个极小值。
7、 ConstrainedMin[f,{ineqns},{x,y,…}] 在不等式约束的区域上求多元线性函数的最小值。
w
..
ConstrainedMax[f,{ineqns},{x,y,…}] 求最大值。
其中约定的所有自变量都非负，不等式可以使用各种不等号和等号。如果系数都是整数或分数，则答案也是整数或分数。
8、SampleRange[data] 求表data中数据的极差（最大值减最小值）。 Median[data] 求中值。
1n Mean[data] 求平均值?xi。
ni?11n Variance[data] 求方差（无偏估计）?xi?x。
n?1i?1??21n StandardDeviation[data] 求标准差（无偏估计）?xi?x。
n?1i?1??21n VarianceMLE[data] 求方差?xi?x。
ni?1??21n StandardDeviationMLE[data] 求标准差（无偏估计）?xi?x。
ni?1??21n CentralMoment[data,k] 求k阶中心矩?xi?x。
ni?1??k BinomialDistribution[p] Bernoulli分布。
BinomialDistribution[n,p] 二项分布。 GeometricDistribution[p] 几何分布。
HypergeometricDistribution[n,M,N] 超几何分布。 PoissonDistribution[?] Poisson分布。 NormalDistribution[?，?] 正态分布。 ChiSquareDistribution[n] ?2分布。 UniformDistribution[min,max] 均匀分布。
w
综合实验数值计算
