高等数学
第八章 多元函数微分法及其应用
习题课（第二次）
课堂练习题（Ａ）
一．填空题
1．球面x2?y2?z2?R2的向外的一个法向量为________，方向余弦为________.
32．在曲线x?t ,y??t2 ，z?t 的所有切线中，与x?2y?z?4平行的切线有几条 ．
3．M（1，-1，2）为曲面z?f(x,y)上的一点，fx?(1,?1)?2，fy?(1,?1)??2，则曲面在点M处的切平面方程为 ．
二．选择填空题
1．函数u?2xy?z2 在点(2,?1,?1) 处方向导数的最大值为 ． A. 26 B. 1 C. 22 D. 24
?倾角的方向导数等于 ． 3A.603?45 B. 60?453 C. ?603?45 D. ?60?453
232．函数u?3xy?2xy?1在点M(3,2)处沿与x轴正向成
223．已知曲面z?4?x?y 在点p处的切平面平行于平面2x?2y?z?1 则点 p的坐标是 ． A.(1,?1,2) B. (?1,1,2) C. (1,1,2) D. (?1,?1,2)
三．计算下列各题：
1． 求函数f(x,y)?x3?8y3?6xy?5的极值.
1
?y?x22． 求曲线?22上点M(1,1,2)处的切线方程．
z?x?y?
3． 在曲面z?xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0．并写出法线的方程．
?x?1?04．求过直线?且与曲面x2?4y2?4z相切的平面方程．
?2y?z?1?0
25．函数z?x?3xy在点(1,2)处沿x轴正向的方向导数为 ．
四．求平面
2
xyz???1和柱面x2?y2?1的交线上与xoy平面距离最短的点． 345五．横截面为半圆形的圆柱形张口浴盆，其表面积为S，当浴盆断面半径和盆长各为多少时，浴盆有最大容积．
六．证明：曲面xyz?a3上任一点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为定值．
3
课堂练习题（Ｂ）
1．曲线y?f(x) ，z?g(x,y) （其中f(x) 和g(x,y) 可微）上点(x0,y0,z0) 处的切线方程是 ．
2．曲线x?cost ，y?sint ，z?tan则此向量与oz 轴正向夹角r?
t 在点(0,1,1) 处一个切向量与ox轴正向夹角为锐角，2 ．
3．设F(u,v,w) 是可微函数，且 Fu(2,2,2)?Fw(2,2,2)?3，Fv(2,2,2)??6 ，曲面
F(x?y,y?z,z?x)?0 通过点(1,1,1) ，则过该点的法线方程是 ．
4．设M(1,?1,2)是曲面z?f(x,y)上点，若fx(1,?1)?3，且在任一点(x,y)处有
xfx?yfy?f，则曲面在这一点的切平面方程为 ．
5．设可微函数f(x,y)对任意实数t(t?0)满足条件f(tx,ty)?tf(x,y) ,P0(1,?2,2) 是曲面
z?f(x,y)上点，且fx(1,?2)?4 ，求此曲面在P0点的切平面方程．
4
6． 试证曲面z?xe上所有点处的切平面都通过一定点．
7．设M(x0,y0,z0)是曲面z?xf(其中f是可微函数．
8．讨论函数f(x,y)?yxy)上的任一点，试证明在该点处，曲面的法线垂直于向径OM，xx2?y2在点(0,0)处沿任意方向的方向导数是否存在．
9．利用梯度与方向导数的关系计算数量场u?xy?yz?zx在点p(1,2,3)处沿其矢径方向的方向导数．
x2y2z210．设有数量场u?2?2?2，问a,b,c满足什么条件才能使u(x,y,z) 在P点处
abc222(P(x,y,z),x?y?z?0)沿矢径方向方向导数最大。
5
高等数学第八章习题课（第二次）作业
班级 姓名 学号
?x2?y2?z2?0１． 求曲线?在点(2,3,5)处的切线与z轴正向所成的倾角．
x?2?
2．求函数z?y?ln
3．利用多元函数求极值的方法，求点P(0,?1,1)到直线?
x在M(1,1,1)处的法线方程． y?y?2?0的距离．
x?2z?7? 6
高等数学第八章第二次习题
