高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教学
案理(含解析)北师大版
第二节 等差数列及其前n项和
[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.用符号表示为an+1-an=d(n∈N+,d为常数).
(2)等差中项:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,即A=
a+b2
.
(3)等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m) d. (4)等差数列的前n项和公式:Sn=na1+an2=na1+
nn-1
2
d.
2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.
(2)数列{an}是等差数列,且公差不为0?Sn=An+Bn(A,B为常数). [常用结论] 等差数列的性质
(1)项的性质:①在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d?点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.
②若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an. (2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1). ②S2n-1=(2n-1)an.
2
am-an=d(m≠n),其几何意义是m-n
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N,都有2an+1=an+an+2.
( ) ( ) ( )
*
( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差d等于( ) 111A. B. C.2 D.- 422A [∵a4+a8=2a6=10,∴a6=5, 又a10=6,∴公差d=
a10-a66-51
10-6
=
4
=.故选A.]
4
3.(教材改编)设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
A.31 B.32 C.33 D.34 B [设数列{an}的公差为d, 法一:由S5=5a3=30得a3=6, 8
又a6=2,∴S8=
a1+a8
2
8=
a3+a6
2
=
8
6+2
=32. 2
?
法二:由?5×4
5ad=30,1+?2?
?a1+5d=2,
26
a=,??3得?4
d=-??3.1
8×7264
∴S8=8a1+d=8×-28×=32.]
233
4.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
?a8>0,?-1,-7? [由题意可知?
??8????a9<0.?
??7+7d>0,
即?
?7+8d<0?
7
解得-1<d<-.]
8
5.(教材改编)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________. 180 [∵{an}为等差数列,
∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,
∴a2+a8=2a5=180.]
等差数列基本量的运算
1.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( ) A.12 B.13 C.14 D.15
5a1+a5
B [由题意得S5==5a3=25,a3=5,公差d=a3-a2=2,a7=a2+5d=3+5×2
2=13.故选B.]
2.已知在等差数列{an}中,a1=20,an=54,Sn=3 700,则数列的公差d,项数n分别为( )
A.d=0.34,n=100 34
C.d=,n=100
99
B.d=0.34,n=99 34
D.d=,n=99
99
an=a1+n-1d,??
C [由?nn-1dS,n=na1+?2?
54=20+n-1d,??
得?nn-1d3 700=20n+,?2?
34??d=,
解得?99
??n=100.
故选C.]
3.(2018·宁德二模)已知等差数列{an}满足a3+a5=14,a2a6=33,则a1a7=( ) A.33 B.16 C.13 D.12
??a3+a5=14,
C [由?
?a2·a6=33,???a1=1,
解得?
?d=2,?
??a1+3d=7,
得?
?a1+da1+5d?
=33,
??a1=13,
或?
?d=-2.?
当a1=1,d=2时,a7=1+6×2=13,∴a1a7=13; 当a1=13,d=-2时,a7=13+6×(-2)=1,∴a1a7=13. 综上可知a1a7=13.故选C.]
4.(2018·西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为( )
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