高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教学
案理（含解析）北师大版
第二节 等差数列及其前n项和
[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．
(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝
a＋b2
.
(3)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，可推广为an＝am＋(n－m) d． (4)等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋
nn－1
2
d．
2．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0?Sn＝An＋Bn(A，B为常数)． [常用结论] 等差数列的性质
(1)项的性质：①在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d?点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
②若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)． ②S2n－1＝(2n－1)an.
2
am－an＝d(m≠n)，其几何意义是m－n
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N，都有2an＋1＝an＋an＋2.
( ) ( ) ( )
*
( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数． (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于( ) 111A. B． C．2 D．－ 422A [∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5， 又a10＝6，∴公差d＝
a10－a66－51
10－6
＝
4
＝.故选A.]
4
3．(教材改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A．31 B．32 C．33 D．34 B [设数列{an}的公差为d， 法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6， 8
又a6＝2，∴S8＝
a1＋a8
2
8＝
a3＋a6
2
＝
8
6＋2
＝32. 2
?
法二：由?5×4
5ad＝30，1＋?2?
?a1＋5d＝2，
26
a＝，??3得?4
d＝－??3.1
8×7264
∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.]
233
4．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
?a8＞0，?－1，－7? [由题意可知?
??8????a9＜0.?
??7＋7d＞0，
即?
?7＋8d＜0?
7
解得－1＜d＜－.]
8
5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 180 [∵{an}为等差数列，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，
∴a2＋a8＝2a5＝180.]
等差数列基本量的运算
1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( ) A．12 B．13 C．14 D．15
5a1＋a5
B [由题意得S5＝＝5a3＝25，a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2
2＝13.故选B．]
2．已知在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝3 700，则数列的公差d，项数n分别为( )
A．d＝0.34，n＝100 34
C．d＝，n＝100
99
B．d＝0.34，n＝99 34
D．d＝，n＝99
99
an＝a1＋n－1d，??
C [由?nn－1dS，n＝na1＋?2?
54＝20＋n－1d，??
得?nn－1d3 700＝20n＋，?2?
34??d＝，
解得?99
??n＝100.
故选C.]
3．(2018·宁德二模)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝( ) A．33 B．16 C．13 D．12
??a3＋a5＝14，
C [由?
?a2·a6＝33，???a1＝1，
解得?
?d＝2，?
??a1＋3d＝7，
得?
?a1＋da1＋5d?
＝33，
??a1＝13，
或?
?d＝－2.?
当a1＝1，d＝2时，a7＝1＋6×2＝13，∴a1a7＝13； 当a1＝13，d＝－2时，a7＝13＋6×(－2)＝1，∴a1a7＝13. 综上可知a1a7＝13.故选C.]
4．(2018·西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位)．这个问题中，等差数列的通项公式为( )
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